Question

Помогите с решением, пожалуйста В треугольной пирамиде все боковые рёбра и два ребра основания равны а. Угол между равными рёбрами основания ранен альфа . Определить объём пирамиды.

Answer 1

b = 2a · sin α/2 - третья сторона треугольника, лежащего в основании пирамиды

S = 0.5 a · a · sin α = 0.5a²·sinα - площадь основания

Проекцией бокового ребра на основание является радиус окружности, описанной вокруг основания

R = a · a · b/(4S) = a · a · 2a · sin α/2 : (4 · 0.5a²·sinα) = а/(2cos α/2)

h = √(a² - R²) = √(a² - a²/(4cos² α/2)) = a √(1 - 1/(4cos² α/2)) - высота пирамиды

Объём пирамиды равен V = 1/3  · S · h =

= 1/3 · 0.5a² · sin α  · a√(1 - 1/(4cos² α/2)) =

= a³ · 2 sin α/2 · cos α/2 · √(4cos² α/2 - 1) / (6 · 2 cos α/2) =

= a³/6 · sin α/2 · √(4cos² α/2 - 1)

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится знание о формулах объёма пирамиды и тригонометрии. Давайте разберёмся шаг за шагом:

Обозначим стороны пирамиды и данные углы:

а - длина бокового ребра пирамиды β - угол между боковым ребром и одним из рёбер основания (угол между боковым ребром и плоскостью основания) α - угол между равными рёбрами основания

Зная, что угол между равными рёбрами основания (α) и угол между боковым ребром и одним из рёбер основания (β) равны, мы можем найти значение угла β. У нас есть следующее соотношение между углами в пирамиде:

180° = 90° + α + β

Отсюда найдем значение угла β:

β = 180° - 90° - α β = 90° - α

Теперь, чтобы найти объем пирамиды, воспользуемся формулой:

V = (1/3) * S * h

где V - объем пирамиды, S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Площадь основания S можно найти по формуле площади треугольника, зная длину стороны a и угол α:

S = (1/2) * a^2 * sin(α)

Высота пирамиды h равна высоте боковой грани пирамиды, а также равна проекции бокового ребра на плоскость основания. Найдем высоту пирамиды h:

h = a * cos(β)

Теперь можем вычислить объем пирамиды:

V = (1/3) * S * h V = (1/3) * (1/2) * a^2 * sin(α) * a * cos(β) V = (1/6) * a^3 * sin(α) * cos(β)

Подставим значение β:

V = (1/6) * a^3 * sin(α) * cos(90° - α)

Угол 90° - α равен углу между равными рёбрами основания, а значит, sin(90° - α) = sin(α), cos(90° - α) = cos(α).

Таким образом, получаем окончательную формулу для объема пирамиды:

V = (1/6) * a^3 * sin(α) * cos(α)

Теперь, если у вас есть значение длины стороны a и угла α, вы можете легко вычислить объем пирамиды, подставив значения в эту формулу.