Question

Прошу помогите пожалуйста?? Докажите, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны.

Answer 1

Имеем: ΔABC, AB=BC, AM и BN - медианы.

AB=BC  ⇒  AN+NB=CM+MB  ⇒  2AN=2CM (так как AM и BN -медианы, делят сторону пополам) ⇒ AN=CM.

Рассмотрим треугольники ANC и AMC. Они равны по двум сторонам и углу между ними (AN=CM (доказано), AC - общая сторона, ∠NAC=∠MCA (треугольник ABC равнобедренный) )  ⇒  AM=CN, что и требовалось доказать.

Answer 2

Добро пожаловать! Разумеется, я помогу вам с этой задачей.

Для начала давайте определим, что такое равнобедренный треугольник. Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны друг другу (они называются равными боковыми сторонами), и соответствующие им углы при основании также равны.

Пусть у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC (боковые стороны равны). Нам нужно доказать, что медианы, проведенные из вершины A к боковым сторонам, равны.

Для удобства обозначим точку, в которой медианы пересекаются, как точку M. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1 относительно вершины.

Давайте обозначим точку, в которой медиана AM пересекает сторону BC, как точку D. Точка D делит медиану AM в соотношении 2:1, что означает, что BD = DM.

Точно так же, обозначим точку, в которой медиана AM пересекает сторону AB, как точку E. Точка E также делит медиану AM в отношении 2:1, значит, AE = EM.

Теперь у нас есть два равенства:

1. BD = DM
2. AE = EM

Теперь давайте рассмотрим треугольник BME. В этом треугольнике у нас есть две стороны, которые равны по длине: BE (это половина стороны AB) и EM. Мы также знаем, что угол BME равен углу AME, потому что медиана делит сторону в соотношении 2:1, и это делает углы равными.

Таким образом, по стороне-уголу-стороне (СУС) треугольник BME равен треугольнику AME.

Теперь рассмотрим треугольник CDM. В этом треугольнике у нас также есть две стороны, равные по длине: CD (это половина стороны BC) и DM. И угол CDM равен углу ADM.

Таким образом, по стороне-уголу-стороне (СУС) треугольник CDM равен треугольнику ADM.

Теперь у нас есть два равенства:

1. Треугольник BME равен треугольнику AME
2. Треугольник CDM равен треугольнику ADM

Поскольку два треугольника имеют равные стороны и равные углы, то они равны по всему.

Теперь рассмотрим треугольник BCM. В этом треугольнике сторона BC равна стороне BC (так как это одна и та же сторона), и углы при вершине C равны, так как это углы треугольника ABC.

Таким образом, по стороне-стороне-стороне (ССС) треугольник BCM равен треугольнику ABC.

Теперь у нас есть два равенства:

1. Треугольник BME равен треугольнику AME
2. Треугольник BCM равен треугольнику ABC

Теперь, используя теорему о равенстве треугольников, мы можем заключить, что треугольники AME и ABC равны.

Следовательно, сторона AE равна стороне AB.

Теперь, используя это свойство равенства треугольников и равенство сторон AE и EM, мы можем заключить, что сторона EM равна стороне AB.

Итак, мы показали, что медианы AM и BM имеют одинаковую длину (EM = AB). Аналогично, можно доказать, что медианы AM и CM также равны.

Таким образом, мы доказали, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны.