Question

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C=90°)AB=20см, AC=16см, AK-биссектриса. Найти:BC, BK, KC

Answer 1

1. BC находим по теореме Пифагора:

BC = √(AB²-AC²) = √(20² - 16²) = √(400 - 256) = √144 = 12 см

2. По свойству биссектрисы имеем:

$\frac{AC}{AK}=\frac{BC}{BK}$

Пусть AK = x см, тогда BK = 20-x см

$\frac{16}{x}=\frac{12}{20-x}\\ \\16(20-x)=12x\\ 320-16x=12x\\ 28x=320\\ \\ x=\frac{80}{7} cm$

$BK=20-x=20-\frac{80}{7}=\frac{60}{7}cm$

3. $cosA=\frac{AC}{AB}=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}$

По теореме косинусов из ΔAKC получаем:

$KC^2=AC^2+AK^2-2\cdot AC\cdot AK\cdot cosA\\ \\ KC^2=16^2+(\frac{80}{7})^2-2 \cdot 16\cdot \frac{80}{7}\cdot \frac{4}{5}\\ \\ KC^2=256+\frac{80\cdot80}{49}-\frac{2\cdot16\cdot16\cdot4}{7}\\ \\ KC^2=\frac{256\cdot49+80\cdot80-2\cdot256\cdot7\cdot4}{49}\\ \\ KC^2=\frac{256(49-56)+80\cdot80}{49}\\ \\ KC^2=\frac{6400-1792}{49}\\ \\ KC^2=\frac{4608}{49}\\ \\ KC=\sqrt{\frac{2\cdot16^2\cdot9}{49} } =\frac{48\sqrt{2}}{7}cm$

Ответ:

$BC=12cm;BK=\frac{60}{7}cm;KC= \frac{48\sqrt{2}}{7}cm$

Answer 2

Для решения задачи, нам понадобится использовать теорему биссектрисы. По этой теореме биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные длинам двух других сторон треугольника. Также, в прямоугольном треугольнике применимы тригонометрические соотношения.

Пусть BK = x (длина отрезка BK), KC = y (длина отрезка KC).

Так как AK - биссектриса угла A, то можно записать следующее соотношение:

AB / AC = BK / KC

Подставим известные значения:

20 / 16 = x / y

Далее, воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения длины стороны BC:

BC^2 = AB^2 + AC^2

BC^2 = 20^2 + 16^2 BC^2 = 400 + 256 BC^2 = 656 BC = √656 BC ≈ 25.6 см

Теперь, мы можем найти значения x и y:

x = BK ≈ (20 * KC) / 16

y = KC ≈ (16 * BK) / 20

x ≈ (20 * y) / 16 x ≈ 5y / 4

Теперь можем найти x и y из системы уравнений:

20 / 16 = 5y / 4y

20 / 16 = 5 / 4

Домножим обе части на 16:

20 = 16 * 5 / 4

20 = 80 / 4

20 = 20

Таким образом, уравнение верно, и мы можем использовать любое значение для y. Давайте возьмем y = 4 см:

x ≈ 5 * 4 / 4 ≈ 5 см

Таким образом, получаем ответ:

BC ≈ 25.6 см BK ≈ 5 см KC ≈ 4 см