Question

В трапеции АВСД боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через точки С и Д и касается прямой АВ в точке Е. Найдите расстояние от точки Е до прямой СД, если АД=20, ВС=10

Answer 1

В трапеции АВСД боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через точки С и Д и касается прямой АВ в точке Е. Найдите расстояние от точки Е до прямой СД, если АД=20, ВС=10

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте обозначим несколько величин и точек на рисунке:

Пусть:

1. Точка F - точка касания окружности с боковой стороной CD трапеции ABCD (см. рисунок).
2. x - расстояние от точки E до прямой CD.

Теперь рассмотрим свойства касательных и хорд окружности:

1. Для любой касательной, проведенной к окружности, радиус касающейся точки и линии перпендикулярной касательной в точке касания образуют прямоугольный треугольник.
2. Для любой хорды, проходящей через точку окружности, радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

С учетом этих свойств, мы можем записать два уравнения:

1. Для прямоугольного треугольника CFE: CF * FE = CE^2

2. Для прямоугольного треугольника CDE: CD * x = CE^2

Теперь, нам нужно выразить CF и CD через известные данные задачи. Рассмотрим треугольник ADE:

DE = AD - AE = 20 - x BC = CD = 10 (дано в условии)

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ADE: AE^2 + DE^2 = AD^2 AE^2 + (20 - x)^2 = 20^2 AE^2 + 400 - 40x + x^2 = 400 AE^2 = 40x - x^2

Теперь, используя выражение для площади прямоугольного треугольника CFE и подставив CF и AE из полученных выше уравнений:

CF * FE = CE^2 (CE + x) * (CE - x) = CE^2 CE^2 - x^2 = CE^2 x^2 = 0

Теперь решим уравнение:

x^2 = 0

Корень из 0 равен 0. Значит, x = 0.

Таким образом, расстояние от точки Е до прямой СД равно 0.