Question

В треугольнике АВС на стороне АВ отмечена точка К. известно, что ВС = 15 см, АК: АС = АС : АВ = 1 : 5. Найти СК.

Answer 1

Треугольник АВС - прямоугольный, его площадь найдем половиной произведения катетов:S (ABC)=AB*BC:2

S (ABC)=12*16:2=96 см²

Сумма площадей треугольника АВК и ВКС равна 96см², и эти площади относятся как 5:15

S (ABK):S (BKC)= 5:15

 Пусть коэффициент отношения будет х

S (ABK)+S (BKC)= 5х+15х=20х

20х=96 см²

х=4,8 см²

S (ABK)=4,8*5=24 см²

S (BKC)=4,8*15=72 см²

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся теоремой подобия треугольников.

Условие задачи гласит, что отношение длин сторон в треугольнике АКС равно 1:5, и это также верно для треугольника АСВ.

1. Обозначим длину стороны АК как "x".
2. Тогда длина стороны АС будет "5x".
3. Длина стороны АВ равна 15 см.

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольников АКС и АСВ, и мы можем найти соотношение длин сторон СК и СВ.

Для этого воспользуемся теоремой подобия треугольников, которая утверждает, что если соотношение длин сторон двух треугольников равно, то соответствующие углы этих треугольников также равны.

Соотношение длин сторон АКС и АСВ равно 1:5, а значит, соответствующие углы будут равны. В частности, угол САК будет равен углу САВ.

Теперь посмотрим на треугольник САК. В нем углы САК и САВ равны, так как это равнобедренный треугольник. Тогда угол К равен углу В, так как их дополнения до 180° одинаковы.

Теперь мы можем использовать тот факт, что сумма углов треугольника равна 180°. Обозначим угол К как "α". Тогда угол В также будет "α".

У нас есть угол В, а также длины сторон АВ и АК, поэтому можем использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике КВС (так как угол В прямой).

Тангенс угла α = СК / АК Тангенс угла В = СВ / АВ

Так как тангенсы углов равны, можем записать:

СК / АК = СВ / АВ

Теперь подставим значения:

СК / x = 15 / 15

СК = x

Теперь, чтобы найти значение СК, нам необходимо найти значение x. Для этого рассмотрим треугольник АКС.

Мы знаем, что сторона АС равна 5x, а сторона АВ равна 15. Сумма длин сторон треугольника АКС равна длине стороны АВ:

x + 5x = 15

6x = 15

x = 15 / 6

x = 2.5

Теперь, когда мы нашли x, можем найти СК:

СК = x = 2.5 см.

Таким образом, длина стороны СК равна 2.5 см.