Question

В трапеции ABCD точки F и K середина основания AD и BC соответственно Докажите что площадь трапеции ABKF равна половине площади трапеции ABCD

Answer 1

Отсюда площадь трапеции ABKF равна половине площади трапеции ABCD, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойством трапеции: сумма площадей двух треугольников, образованных диагоналями трапеции, равна половине площади самой трапеции.

Пусть точка M - середина отрезка AB (то есть точка, в которой отрезок AB делится пополам).

Теперь обратим внимание на четыре треугольника, образованных диагоналями трапеции ABCD:

1. ΔABM - треугольник, образованный точками A, B и M (вершинами основания трапеции и серединой его).
2. ΔCDM - треугольник, образованный точками C, D и M (вершинами основания трапеции и серединой его).
3. ΔAFK - треугольник, образованный точками A, F и K (вершинами боковых сторон трапеции и точками деления их на две равные части).
4. ΔBCK - треугольник, образованный точками B, C и K (вершинами боковых сторон трапеции и точками деления их на две равные части).

Заметим, что ΔABM и ΔCDM являются попарно равными треугольниками (по свойству серединных перпендикуляров). Точно так же, ΔAFK и ΔBCK являются попарно равными треугольниками (по свойству серединных перпендикуляров).

Теперь рассмотрим площади этих треугольников:

Пусть S - площадь трапеции ABCD. Тогда площадь треугольников ΔABM и ΔCDM равны S/2 каждый, так как каждый из них составляет половину площади трапеции.

Также, площадь треугольников ΔAFK и ΔBCK равны S/2 каждый, так как они попарно равны и соответственно составляют половину площади трапеции.

Суммируем площади треугольников в трапеции ABKF: (S/2) + (S/2) = S.

Итак, площадь трапеции ABKF равна S, что соответствует половине площади трапеции ABCD. Таким образом, утверждение доказано.