Question

В треугольнике одна из сторон равна 28 см, а другая сторона делится точкой касания , вписанной в неё окружности , на отрезки 15 см и 21 см . Найдите две другие стороны. Много баллов

Answer 1

Пусть D, E и F - точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника АВС: АС, АВ и ВС соответственно.

Нам дано: АВ=30см, ВF=14см, FC=12см.

Заметим, что ВЕ=ВF=14см, DC=FC=12см, а АЕ=АD как касательные, проведенные из одной точки к окружности.

Тогда АЕ=АВ-ВЕ=30-14=16см, значит АD=16см. DC=FC=12см.

Значит АС=AD+DC=16+12=28см.

Полупериметр треугольника равен: р=(30+26+28):2=42см.

Есть формула для вписанной в треугольник окружности:

r=√[(p-a)(p-b)(p-c)/р], где р - полупериметр, а, b, c - стороны треугольника.

В нашем случае: r=√(12*16*14/42)=√64=8см.

Ответ: r=8см.

Или по формуле r=S/p, где S - площадь треугольника.

 Площадь найдем по формуле Герона:

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]   или в нашем случае: S=√(42*12*16*14)=√(6*7*2*6*16*2*7)=6*7*2*4=336см².

r=336/42=8см.

Ответ: r=8см.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится знание некоторых свойств треугольника, а также формулы для радиуса вписанной окружности. Давайте решим задачу шаг за шагом.

Пусть треугольник ABC имеет стороны a, b и c. Один из способов рассчитать радиус вписанной окружности (r) в треугольник, зная длины сторон, это использовать формулу Герона для площади треугольника:

Площадь треугольника (S) = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)), где s = (a + b + c) / 2.

Радиус вписанной окружности (r) можно найти, используя следующую формулу:

r = S / s.

Теперь применим эти знания к нашей задаче:

Дано: AB = 28 см, AC = 21 см, BC = 15 см.

Мы хотим найти стороны треугольника, которые обозначим как a, b и c.

1. Найдем радиус вписанной окружности (r): Первым шагом найдем полупериметр треугольника s:

s = (AB + AC + BC) / 2 s = (28 + 21 + 15) / 2 s = 64 / 2 s = 32 см.

Теперь найдем площадь треугольника (S):

S = sqrt(s * (s - AB) * (s - AC) * (s - BC)) S = sqrt(32 * (32 - 28) * (32 - 21) * (32 - 15)) S = sqrt(32 * 4 * 11 * 17) S = sqrt(23616) S ≈ 153.65 см².

Теперь, используя формулу для радиуса вписанной окружности, найдем r:

r = S / s r ≈ 153.65 / 32 r ≈ 4.80 см.

2. Найдем стороны треугольника a и b:

Заметим, что точка касания окружности с стороной BC делит ее на две части в отношении 15:21. Это означает, что отношение высот треугольников ABC и AIB, где I - центр вписанной окружности, равно 15:21.

Пусть h1 - высота треугольника ABC, опущенная из вершины A на сторону BC, а h2 - высота треугольника AIB, опущенная из вершины A на сторону BC.

Тогда:

h2 / h1 = 15 / 21, h2 = (15 / 21) * h1.

Но также известно, что радиус вписанной окружности (r) является высотой треугольника AIB, опущенной из вершины A на сторону BC.

Таким образом:

r = (15 / 21) * h1, h1 = (21 / 15) * r.

Теперь можем найти сторону a:

a = 2 * √(r * (s - AB)), a = 2 * √(4.80 * (32 - 28)), a = 2 * √(4.80 * 4), a = 2 * √19.20, a ≈ 2 * 4.38, a ≈ 8.76 см.

3. Найдем сторону b:

b = 2 * √(r * (s - AC)), b = 2 * √(4.80 * (32 - 21)), b = 2 * √(4.80 * 11), b = 2 * √52.80, b ≈ 2 * 7.27, b ≈ 14.54 см.

Таким образом, две другие стороны треугольника равны примерно 8.76 см и 14.54 см.