Question

В разных полуплоскостях относительно прямой MN расположены точки A и B. Докажите, что AM || BN, если известно, что AM = BN,AN = BM

Answer 1

АМ=BN-по условию

AN-BM-по условию

MN-общая

Значит ΔANM=ΔBMN по 3 сторонам⇒

<ANM=<BMN-накрест лежащие⇒AM||BN

Answer 2

Для доказательства того, что AM || BN, у нас есть информация о четырех точках: A, B, M и N. Из условия также известно, что AM = BN и AN = BM.

Чтобы показать, что AM || BN, давайте рассмотрим триангуляцию в данной ситуации.

Так как AM = BN, то мы можем заметить, что треугольники AMN и BNM являются равнобедренными треугольниками. Это происходит потому, что у равнобедренного треугольника две стороны равны. Таким образом, у нас есть:

1. AM = BN (из условия)
2. AN = BM (из условия)
3. MN = MN (общая сторона)

Теперь давайте рассмотрим углы:

4. Угол MAN = Угол MNB (потому что AMN и BNM - равнобедренные треугольники, и у них равны основания)
5. Угол AMN = Угол BNM (потому что AMN и BNM - равнобедренные треугольники, и у них равны вершины)

Теперь у нас есть две пары равных углов и общая сторона. По теореме обратных углов, если два треугольника имеют пары равных углов, расположенных между равными сторонами, то эти треугольники подобны. Из этого следует, что треугольники AMN и BNM подобны.

Таким образом, у нас имеется соотношение сторон:

AN / AM = BM / BN

Так как AN = BM и AM = BN (дано в условии), то:

AN / AM = 1

BM / BN = 1

Отсюда следует, что AN / AM = BM / BN = 1, что означает, что соотношение сторон для двух треугольников равно 1. Это возможно только тогда, когда стороны параллельны.

Таким образом, мы доказали, что AM || BN.