Question

1)Биссектриса равностороннего треугольника равна 58√3. Найдите сторону этого треугольника 2)Треугольник ABC впи­сан в окруж­ность с цен­тром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Най­ди­те угол ACB, если угол AOB равен 124°. Ответ дайте в градусах. 3) В тре­уголь­ни­ке ABC от­ме­че­ны се­ре­ди­ны M и N сто­рон BC и AC соответственно. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CNM равна 104. Най­ди­те пло­щадь четырёхугольника ABMN.

Answer 1

1) 116

2) 62°

3) 416

1) Биссектриса равностороннего треугольника совпадает с медианой и высотой.

Обозначим а - сторона,

h - высота. Равносторонний треугольник равны все стороны и равны углы, причем углы равны 60°.

Рассмотрим треугольник образованный стороной высотой (биссектрисой)

и третьей стороной будет часть стороны на которую опущен треугольник. Рассматриваемый треугольник прямоугольный. И углы соответсвенно равны 90° , 60° и 30°.

Справедливо: а=h/cos30°. a=58×2=116.

2) Величина угла ACB, равна половине угла AOB, который равен 124°. Угол ACB=(124°/2)=

62°.

3)

BC=2×MC; AC=2×NC.

MC=(1/2)×BC; NC=(1/2)×AC

S(ABC)=1/2×AC×BC×sinC,

S(MNC)=1/2×MC×NC×sinC,

Отсюда S(ABC)=4×S(MNC)=4×104

S(ABC)=416

Answer 2

1. Для равностороннего треугольника все стороны равны между собой. Пусть сторона треугольника равна a. Тогда длина биссектрисы (из вершины до противоположной стороны) равна a.

По условию, длина биссектрисы равностороннего треугольника равна 58√3:

a = 58√3.

2. Угол, вписанный в окружность, равен половине центрального угла, соответствующего этому дуге. Так как угол AOB равен 124°, то угол ACB (вписанный угол) будет равен половине этого значения:

Угол ACB = 124° / 2 = 62°.

3. Площадь треугольника CNM равна 104, и это составляет четверть площади треугольника ABC (поскольку CNM делит ABC на 4 треугольника одинаковой площади).

Площадь треугольника ABC = 4 * 104 = 416.

Теперь, чтобы найти площадь четырёхугольника ABMN, нужно отнять площадь треугольника CNM от площади треугольника ABC:

Площадь четырёхугольника ABMN = Площадь треугольника ABC - Площадь треугольника CNM = 416 - 104 = 312.