Question

В теугольнике ABC с прямым углом C проведена биссектриса AD. Докажите что CD меньше BD.​

Answer 1

из точки Д опускаем перпендикуляр на сторону АВ

получаем треугольник АДМ конгруэнтный треугольнику АДС  по углу при вершине А,гипотенузе АД и прямому углу( 90 против наибольшей стороны-АД) СД=ДМ против равных углов в конгруэнтных треугольниках. Но в треугольнике ДМВ ДМ-катет,а ДВ- гипотенуза. Гипотенуза всегда больше катета!

Answer 2

Для доказательства неравенства CD < BD, нам понадобится использовать свойство биссектрисы в треугольнике. Биссектриса AD делит угол CAB на два равных угла. Пусть угол CAD равен углу BAD, обозначим их общую величину за α.

Теперь рассмотрим треугольники ACD и ABD:

1. В треугольнике ACD: Угол ACD = 180° - угол CAD (по свойству углов треугольника) = 180° - α.

2. В треугольнике ABD: Угол ABD = 180° - угол BAD (по свойству углов треугольника) = 180° - α.

Теперь обратим внимание на треугольник ACD. У него два угла (ACD и ADC), которые больше, чем угол CAD, потому что угол CAD является половиной угла C, и угол C - прямой. Следовательно:

Угол ACD > угла CAD. Угол ADC > угла CAD.

Теперь, вспомним неравенство треугольника, которое утверждает, что в треугольнике сумма любых двух сторон всегда больше третьей стороны. Применим это к треугольнику ACD:

AC + CD > AD. ---(1)

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Аналогично, в нем сумма двух сторон больше третьей стороны:

AB + BD > AD. ---(2)

Теперь объединим неравенства (1) и (2):

AC + CD > AD AB + BD > AD

Теперь вычтем AD из обеих частей каждого неравенства:

AC + CD - AD > 0 AB + BD - AD > 0

Теперь объединим левые части неравенств:

(AC + CD - AD) + (AB + BD - AD) > 0

Упростим:

AC + CD + AB + BD - 2AD > 0

Теперь заметим, что AC + AB - это длина стороны BC, обозначим ее за BC:

BC + CD + BD - 2AD > 0

Также, вспомним, что AD - это биссектриса угла CAB, поэтому AD делит сторону BC пополам:

BC = 2AD

Подставим это в неравенство:

2AD + CD + BD - 2AD > 0

2AD и -2AD сокращаются:

CD + BD > 0

Так как это неравенство выполняется, следовательно, CD должна быть меньше BD:

CD < BD

Таким образом, мы доказали, что CD меньше BD, что и требовалось доказать.