Question

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника АВС выбрана такая точка КБ что СК=АС. Отрезок СК пересекает биссектрису ВL, в ее середине . Найдите угол АВС.

Answer 1

Пусть точкой пересечения СК и BK будет точка О. В треугольнике CBL точка О лежит на середине гипотенузы BL и является центром описанной окружности треугольника. Следовательно BO=CO и треугольник BCO - равнобедренный. Значит угол CBO равен углу BCO и равны B/2.

Т.к. CK=AC, то треугольник AKC - равнобедренный и угол CAK равен углу CKA и равны А. Значит угол АСК=180-(А+А)=180-2А.

Угол ACB=90 и равен сумме углов BCK+ACK, где ВСК=ВСО=В/2

В/2+180-2А=90 (А+В=90 => А=90-В)

В/2+180-2(90-В)=90

В/2+180-180+2В=90

5В/2=90

В=36°

Ответ: угол АВС=36°.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим следующие величины:

Пусть точка L является серединой отрезка BC (то есть BL = LC). Пусть угол АВС обозначен как α.

Из условия "На гипотенузе AB прямоугольного треугольника АВС выбрана такая точка КБ, что СК=АС", мы можем сказать, что треугольник АСК является равнобедренным с основанием AK (где АК = АС).

Теперь, когда мы знаем, что треугольник АСК - равнобедренный, и у нас есть информация о середине биссектрисы, давайте рассмотрим треугольник АCL.

Поскольку BL = LC, то треугольник АCL также является равнобедренным, так как угол АCL равен углу АBL (обозначим его как β), и угол LAC равен углу LAB (обозначим его как γ).

Теперь давайте рассмотрим треугольник BCL. В этом треугольнике у нас есть равные углы β и γ, так как это углы при основаниях равнобедренных треугольников. А угол BCL обозначим как δ.

Теперь у нас есть все необходимые элементы для нахождения угла АВС (α).

Поскольку угол АСК равен α, а угол АКС равен 180° (так как это угол прямоугольного треугольника), мы можем записать:

α + δ + 180° = 180°

Теперь, найдем угол δ:

δ = β + γ

Теперь, воспользуемся тем фактом, что сумма углов треугольника равна 180°:

α + β + γ + δ = 180°

Подставим выражение для δ:

α + β + γ + (β + γ) = 180°

Упростим:

α + 2β + 2γ = 180°

Теперь используем факт, что сумма углов прямоугольного треугольника равна 180°:

α + 90° + 90° = 180°

Упростим:

α + 180° = 180°

Отсюда получаем:

α = 0°

Таким образом, угол АВС (α) равен нулю градусов. Это означает, что треугольник АВС является вырожденным (то есть вырождается в прямую).