Question

1) Площадь треугольника ABC равна 9√3см². AB=12см, AC=3см. Найдите величину угла BAC. 2) В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если большое основание равно 20√3, а один из углов трапеции равен 60 градусов.

Answer 1

1.

Дано: Δ АВС, S=9√3 cм², АВ=12 см, АС=3 см. Найти ∠ВАС.

Решение: угол ВАС найдем из формулы площади треугольника S=1\2a*b*sinα

9√3=1\2 * 12 * 3 * sinВАС

18sinВАС=9√3,   sinВАС=√3\2,  ∠ВАС=60°.

Ответ: 60°.

2.

Дано: АВСД - трапеция, АВ=СД, АД=20√3, ∠А=∠Д=60°, АС⊥СД. Найти S(АВСД).

Решение: Проведем высоту СН, тогда S(АВСД)=(ВС+АД):2*СН.

Рассмотрим ΔАСД - прямоугольный, ∠Д=60°, тогда ∠САД=90-60=30°, а СД=1\2 АД=20√3:2=10√3.

Диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне и делит угол А пополам, значит большее основание трапеции в два раза больше меньшего основания и её боковых сторон;  и высота трапеции равна половине её диагонали.

СД=ВС=20√3:2=10√3;

АС²=(20√3)²-(10√3)²=1200-300=900;  АС=√900=30.

СН=1\2 АС=30:2=15.

S(АВСД)=(20√3+10√3):2*15=225√3 (ед²).

Ответ: 225√3 ед²

Answer 2

1. Для нахождения величины угла BAC в треугольнике ABC можно воспользоваться формулой для площади треугольника через две стороны и синус угла между ними:

Площадь треугольника ABC = (1/2) * AB * AC * sin(BAC)

Известные значения: Площадь треугольника ABC = 9√3 см² AB = 12 см AC = 3 см

Подставим значения в формулу:

9√3 = (1/2) * 12 * 3 * sin(BAC)

Упростим уравнение:

9√3 = 18 * sin(BAC)

Теперь найдем синус угла BAC:

sin(BAC) = (9√3) / 18 = √3 / 2

Так как мы знаем, что угол BAC лежит в первой четверти, то его значение составит:

BAC = 30°

2. Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, где AB и CD - основания, BC и AD - боковые стороны, а BD - диагональ, которая перпендикулярна боковой стороне AD. По условию, известно, что угол ABC равен 60 градусов.

Для нахождения площади трапеции, можно воспользоваться следующей формулой:

Площадь трапеции = (1/2) * (AB + CD) * h,

где h - высота трапеции (расстояние между основаниями), которую можно найти с помощью теоремы Пифагора.

Из равнобедренности трапеции следует, что BC = AD. Также, из перпендикулярности BD и AD, получаем, что треугольник ABD является прямоугольным с прямым углом при B.

Пусть AB = a (большее основание), BC = AD = b (меньшее основание). По условию угол ABC равен 60 градусов, а значит угол ABD (прямой угол) равен 90 градусов.

Теперь применяем теорему Пифагора в треугольнике ABD:

AB² = AD² + BD² a² = b² + BD² BD² = a² - b²

Теперь найдем высоту h, которая равна отрезку BC:

h = BC = b

Теперь можем выразить площадь трапеции:

Площадь трапеции = (1/2) * (AB + CD) * h Площадь трапеции = (1/2) * (a + a) * b Площадь трапеции = a * b

Подставим известные значения:

Площадь трапеции = 20√3 * b

Таким образом, чтобы найти площадь трапеции, нам необходимо знать значение боковой стороны b. В условии оно не указано, поэтому без этой информации мы не можем точно определить площадь трапеции.