Question

СРОЧНОООООО!!!!!!!!! ДАЮ 20 БАЛЛОВ!!!!!!! У трикутнику ABC відомо, що ∠C=90°, ∠B=30°, BC=18. Знайдіть бісектрису AK трикутника.

Answer 1

В прямоуг. треуг. против угла в 30° лежит катет, равный  половине гипотенузы, т.е. в ΔАВС против угла В лежит катет АС, пусть он равен х, тогда гипотенуза АВ = 2х, а биссектриса является средним пропорциональным между отрезками, на которые она разбивает сторону СВ, т.е. КС/КВ=АС/АВ, КС пусть равен у, тогда КВ равен (18-у), Значит, у/(18-у)=1/2. Или по основному свойству пропорции произведение крайних равно произведению средних членов, т.е. 2у=18-у.

Или 3у=18, откуда у=6. КС =6, значит, АК, как гипотенуза в треуг. АСК в два раза больше, чем катет СК, лежащий против угла в 30°, т.к. ∠КАС =(1/2)*угла САВ, равного 60°. Поэтому АК = 12.

Ответ Биссектриса равна 12.

Answer 2

Для знаходження бісектриси AK трикутника ABC, спочатку ми повинні знайти його сторони, а потім застосувати відповідні формули. З огляду на дані ∠C = 90°, ∠B = 30° та BC = 18, ми можемо знайти сторону AB.

Давайте позначимо сторони трикутника ABC так: AB = a BC = b (вже відомо, що b = 18) AC = c

Тоді за теоремою синусів ми маємо: a/sin(∠C) = c/sin(∠B)

Підставляючи відповідні значення: a/sin(90°) = c/sin(30°)

Оскільки sin(90°) = 1 та sin(30°) = 1/2, отримаємо: a = 2c

Також за теоремою Піфагора для прямокутного трикутника ABC, маємо: a^2 = b^2 + c^2

Підставляючи значення a, b та c, отримаємо: (2c)^2 = 18^2 + c^2

4c^2 = 324 + c^2 3c^2 = 324

c^2 = 108 c = √108 c ≈ 10.39

Тепер, знаючи сторону AC, ми можемо знайти сторону AB: a = 2c ≈ 2 * 10.39 ≈ 20.78

Тепер ми маємо сторони AB ≈ 20.78, AC ≈ 10.39 та BC = 18. Далі, щоб знайти бісектрису AK, скористаємося формулою для бісектриси:

AK = 2bc / (b + c)

Підставляючи значення: AK = 2 * 18 * 10.39 / (18 + 10.39) AK ≈ 20.51

Таким чином, бісектриса AK трикутника ABC дорівнює приблизно 20.51.