Question

меньшее основание прямоугольной трапеции равна 2 см, а острый угол 30 градусов. Найдите площадь трапеции, если меньшая диагональ образует с основанием угол 60 градусов​

Answer 1

∠DAB = 90°,  ∠CBA = 30°, ∠CAB = 60°, ⇒∠ACB = 90°,  В ΔACH: ∠CAH = 60°,  ∠AHC = 90° ⇒ ∠ACH = 30° (CD = AH = aсм, так как ADCH - прямоугольник), тогда AC = 2aсм - катет против угла в 30°;   В ΔACB: ∠CAB = 60°, ∠ABC = 30°, ∠ACB = 90° ⇒AB = 4a(см) -  катет против угла в 30°;  CH = √AC²-AH² = √4a²-a² = a√3см  ⇒ S =( (AB + CD) ·CH) : 2 = ((a + 4a) · a√3) :2 =2,5a²√3 см²

Answer 2

Чтобы найти площадь прямоугольной трапеции, нам нужно знать длины её оснований и высоту (перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на основание).

Обозначим меньшее основание как a (a = 2 см) и острый угол как A (A = 30°). Пусть бОльшее основание равно b, а меньшая диагональ равна c.

Мы знаем, что угол между меньшей диагональю и меньшим основанием равен 60 градусов. Обозначим этот угол как B (B = 60°).

Теперь у нас есть следующие данные: a = 2 см A = 30° B = 60°

1. Найдем бОльшее основание (b): Используем тангенс угла B, чтобы найти b: tan(B) = b / a tan(60°) = b / 2 √3 = b / 2 b = 2 * √3 см

2. Найдем длину меньшей диагонали (c): Используем тангенс угла A, чтобы найти c: tan(A) = c / a tan(30°) = c / 2 1/√3 = c / 2 c = 2 / √3 см c = (2 * √3) / 3 см

3. Найдем высоту трапеции (h): Высота трапеции - это перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на основание. Высота также равна меньшей диагонали (c), так как она делит трапецию на два равнобедренных треугольника.

h = (2 * √3) / 3 см

4. Найдем площадь трапеции (S): S = ((a + b) * h) / 2 S = ((2 + 2 * √3) * ((2 * √3) / 3)) / 2 S = ((2 + 2 * √3) * (√3 / 3)) / 2 S = (2√3 + 2 * 3) / 6 S = (2√3 + 6) / 6 S = (√3 + 3) / 3

Таким образом, площадь трапеции равна (√3 + 3) / 3 квадратных сантиметра.