Question

Около равностороннего треугольника ABC описана окружность с центром О. Докажите, что скалярное произведение векторов OC и АВ равно нулю. Пожалуйста решите её с пояснением (то есть как решали).

Answer 1

По построению векторы АВ и ОС пепендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю

Answer 2

ΔАВС, АВ=ВС=АС, ОС = R (радиус описанной окружности)

ОС продолжим до пресечения с АВ. Получим точку К. СК- биссектриса , медиана и высота в ΔАВС. Раз высота , значит, КС⊥АВ,

    →     →

⇒КС*АВ = 0.

Answer 3

Чтобы доказать, что скалярное произведение векторов $\overrightarrow{OC}$ и $\overrightarrow{AB}$ равно нулю, мы будем использовать геометрические свойства равностороннего треугольника и окружности, описанной вокруг него.

Предположим, что треугольник $ABC$ является равносторонним, а $O$ - центр описанной окружности. Поскольку окружность описана вокруг треугольника, каждая сторона треугольника является хордой окружности.

Теперь, давайте обратим внимание на векторы:

$\overrightarrow{OC}$ - это вектор, направленный от точки $O$ к точке $C$. $\overrightarrow{AB}$ - это вектор, направленный от точки $A$ к точке $B$.

Так как $ABC$ - равносторонний треугольник, все его стороны равны, а значит, их длины одинаковы. Обозначим длину любой стороны как $L$.

Теперь, давайте рассмотрим следующее:

1. Диагональ треугольника - это радиус описанной окружности. Поскольку треугольник равносторонний, радиус окружности равен расстоянию от центра $O$ до любой вершины треугольника, например, до вершины $A$. Таким образом, $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OC}$ - это радиусы окружности, и их длины также равны $L$.

2. Вектор $\overrightarrow{AB}$ - это вектор, соединяющий две вершины треугольника. В равностороннем треугольнике углы между сторонами равны 60 градусам. Таким образом, треугольник $ABC$ можно разделить на два равносторонних треугольника $AOB$ и $BOC$, где угол $AOB$ равен 60 градусам.

Теперь давайте рассмотрим скалярное произведение векторов $\overrightarrow{OC}$ и $\overrightarrow{AB}$:

$\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{OC}| \cdot |\overrightarrow{AB}| \cdot \cos(\theta)$

Где $\theta$ - угол между векторами $\overrightarrow{OC}$ и $\overrightarrow{AB}$.

Так как длины векторов $\overrightarrow{OC}$ и $\overrightarrow{AB}$ равны $L$, получим:

$\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{AB} = L \cdot L \cdot \cos(\theta) = L^2 \cdot \cos(\theta)$

Теперь обратим внимание на треугольник $AOB$. В нем угол $AOB$ равен 60 градусам, а это значит, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Таким образом, скалярное произведение векторов $\overrightarrow{OC}$ и $\overrightarrow{AB}$ будет:

$\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{AB} = L^2 \cdot \cos(60^\circ) = L^2 \cdot \frac{1}{2}$

Из этого следует, что скалярное произведение равно нулю только если $L^2 \cdot \frac{1}{2} = 0$.

Но поскольку $L$ - это длина стороны равностороннего треугольника, которая не может быть равна нулю (длина не может быть отрицательной или нулевой), то $L^2$ также не может быть равно нулю. Следовательно, $\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{AB} \neq 0$.

Итак, мы пришли к выводу, что скалярное произведение векторов $\overrightarrow{OC}$ и $\overrightarrow{AB}$ не равно нулю, что означает, что эти векторы не перпендикулярны.