Question

прямоугольном треугольнике ABC внешний угол при вершине A равен 120 катет AC 50 Найдите гипотенузу AB​

Answer 1

...............................

Answer 2

Для решения этой задачи, воспользуемся теоремой косинусов, которая позволяет найти длину стороны треугольника, если известны длины двух других сторон и угол между ними.

Теорема косинусов гласит: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C),$

где: $c$ - длина стороны противолежащей углу $C$, $a$ и $b$ - длины других двух сторон, $C$ - угол между сторонами $a$ и $b$.

В нашем случае, у нас прямоугольный треугольник с углом при вершине A равным 120 градусам. Это значит, что угол C (при вершине C) равен 90 градусам, так как сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Теперь, у нас есть катет AC, равный 50. Пусть гипотенуза AB равна $c$.

Теперь мы можем использовать теорему косинусов:

$c^2 = 50^2 + AB^2 - 2 \cdot 50 \cdot AB \cdot \cos(120^\circ).$

Угол $120^\circ$ нужно выразить в радианах для использования функции косинуса. Переведем градусы в радианы:

$120^\circ = \frac{2\pi}{360^\circ} \cdot 120^\circ = \frac{2\pi}{3} \text{ радиан}.$

Теперь подставим все значения:

$c^2 = 50^2 + AB^2 - 2 \cdot 50 \cdot AB \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right).$

Известно, что $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.

$c^2 = 50^2 + AB^2 - 2 \cdot 50 \cdot AB \cdot \left(-\frac{1}{2}\right).$

Теперь упростим выражение:

$c^2 = 2500 + AB^2 + 50AB.$

Поскольку у нас есть прямоугольный треугольник, то $AB$ и $AC$ связаны между собой соотношением Пифагора:

$AB^2 + AC^2 = c^2.$

Подставим значение $c^2$ из первого уравнения:

$AB^2 + 50^2 = 2500 + AB^2 + 50AB.$

Теперь упростим уравнение, перенеся все слагаемые с $AB^2$ на одну сторону:

$AB^2 - AB^2 + 50AB = 2500 - 50^2.$

$50AB = 2500 - 2500.$

$50AB = 0.$

Теперь найдем $AB$:

$AB = \frac{0}{50} = 0.$

Ой, похоже, что что-то пошло не так. Вероятнее всего, ошибка возникла при использовании угла 120 градусов вместо 60 градусов. Вспомним, что угол при вершине A — это угол с противоположным катетом, а это значит, что он должен быть остроугольным. Значит, его мера должна быть 60 градусов.

Давайте пересчитаем.

$c^2 = 50^2 + AB^2 - 2 \cdot 50 \cdot AB \cdot \cos(60^\circ).$

Теперь, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

$c^2 = 50^2 + AB^2 - 2 \cdot 50 \cdot AB \cdot \left(\frac{1}{2}\right).$

Упростим еще раз:

$c^2 = 2500 + AB^2 - 50AB.$

Теперь подставим это значение обратно в уравнение с соотношением Пифагора:

$AB^2 + 50^2 = 2500 + AB^2 - 50AB.$ 0 0