Question

Срочно! Из точки A проведены касательные AP и AQ к окружности. Точки M и N - середины отрезков соответственно. На прямой MN взяли произвольную точку X. Докажите, что длина отрезка касательной, проведенной из X к окружности, равна длине отрезка AX.

Answer 1

Если у вас есть две окружности, и вы возьмете все точки, такие, что куски касательных из них к этим окружностям равны, то эти точки будут образовывать прямую, которая называется радикальной осью двух окружностей. Поэтому в вашей задаче у вас тоже две окружности, только вторая окружность имеет радиус 0 и выродилась в точку А. Точки N и M - это две точки, куски касательных от которых к этим окружностям равны. Значит, они лежат на радикальной оси. Значит, прямая MN и есть радикальная ось. А значит куски касательных от любой точки на ней до окружностей равны.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим следующую конструкцию:

Пусть O - центр окружности, а OM и ON - радиусы окружности. Также пусть XP и XQ - касательные из точки X к окружности.

Теперь рассмотрим треугольник OAX:

1. OA = OX, так как оба радиуса окружности.
2. Угол OAX = угол OXP, так как они соответственные углы при параллельных прямых.
3. Угол AXO = угол PXO, так как они также соответственные углы.

Из данных углов и равенства сторон (OA = OX) следует, что треугольники OAX и OXP равны по стороне-угол-стороне (SAS).

Следовательно, AX = XP.

Аналогично можно доказать, что AX = XQ.

Таким образом, отрезки AX, XP и XQ равны между собой.

Так как XP и XQ - это касательные к окружности из точки X, а AX - это отрезок от точки A до точки X, мы можем заключить, что длина отрезка касательной, проведенной из X к окружности, равна длине отрезка AX.

Таким образом, утверждение доказано.