Question

Найти cos^4a-sin^4a,зная,что sin2a=12/13,0,25пи<а<0,5пи. (а это альфа)(^ степень)

Answer 1

Найти cos⁴a-sin⁴a,  зная, что sin2α=12/13,     π/4< α < π/2. (1-я четверть)

1) cos⁴a-sin⁴a = (Сos²α-Sin²α)(Сos²α + Sin²α) = (Сos²α-Sin²α) *1 =

= Сos²α-Sin²α = Cos2α = ?.

2)  π/4< α < π/2. | *2

    π/2 < 2α< π ( 2-я четверть)

3) Сos²2α = (1 - Sin²2α) =(1 - 144/169) =25/169

Сos2α= -5/13

Answer 2

Для нахождения выражения cos^4(a) - sin^4(a), используем тригонометрические тождества:

1. sin^2(a) + cos^2(a) = 1
2. sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

Нам уже дано значение sin(2a), поэтому начнем с выражения sin^2(a) и cos^2(a). Для этого разрешим уравнение (1) относительно sin^2(a):

sin^2(a) = 1 - cos^2(a)

Теперь подставим значение sin(2a):

(sin^2(a)) = (12/13)^2 1 - cos^2(a) = (12/13)^2

Теперь решим уравнение относительно cos^2(a):

cos^2(a) = 1 - (12/13)^2 cos^2(a) = 1 - 144/169 cos^2(a) = (169 - 144)/169 cos^2(a) = 25/169

Теперь, чтобы найти cos(a) и sin(a), возьмем квадратные корни из соответствующих значений:

cos(a) = ±√(25/169) = ±5/13 sin(a) = ±√(1 - cos^2(a)) = ±√(1 - 25/169) = ±√(144/169) = ±12/13

Мы знаем, что 0 < a < 0.5π, поэтому возьмем положительные значения, чтобы синус и косинус были положительными:

cos(a) = 5/13 sin(a) = 12/13

Теперь найдем значение cos^4(a) - sin^4(a):

cos^4(a) - sin^4(a) = (cos^2(a))^2 - (sin^2(a))^2 cos^4(a) - sin^4(a) = (5/13)^2 - (12/13)^2 cos^4(a) - sin^4(a) = 25/169 - 144/169 cos^4(a) - sin^4(a) = (25 - 144)/169 cos^4(a) - sin^4(a) = -119/169

Итак, cos^4(a) - sin^4(a) = -119/169.