Question

Каждая из двух окружностей проходит через центр другой. Найдите отношение длины дуг, которые отсекает от каждой окружности их общая хорда

Answer 1

Центр второй окружности лежи на первой окружности расстояние между центрами окружностей равно r расстояние от центра каждой до точек пересечения тоже равно r Имеем ромб со стороной r и малой диагональю тоже равной r Нам в итоге надо найти бОльшую диагональ соответственно, две стороны и малая диагональ составляют равносторонний треугольник (все углы 60, все стороны r) половина бОльшей диагонали равна высоте этого треугольника.

Answer 2

Для решения этой задачи предположим, что радиус первой окружности равен R1, а радиус второй окружности равен R2.

Поскольку каждая из окружностей проходит через центр другой, мы можем получить следующую схему:

perlCopy code
          R2
  ●------------------○
  |                 /
  |                /
R1|               /
  |              /
  |             /
  |            /
  |           /
  |          /
  |         /
  |        /
  ●-------○
         R1

Для нахождения отношения длины дуг, отсекаемых от каждой окружности их общей хордой, давайте разберем два случая:

1. Когда одна окружность полностью содержится внутри другой (пусть это будет первая окружность с радиусом R1). В этом случае, общая хорда будет равна 2 * R1, и длина дуги отсекаемой этой хордой будет половиной окружности с радиусом R1. Таким образом, отношение длины дуги к длине хорды будет:

   Отношение = (1/2 * 2 * π * R1) / (2 * R1) = π

2. Когда обе окружности пересекаются. Предположим, что точка пересечения обозначена как М.

perlCopy code
         R2
   ●--------------○
   |             /|
   |            / |
 R1|           /  | h
   |          /   |
   |         /    |
   |        /     |
   |       /      |
   |      /       |
   |     /        |
   |    /         |
   ●---M----------○
         R1

Давайте найдем длину хорды (MN) с помощью теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике MNR2:

R2^2 = (R1 - h)^2 + MN^2

Теперь найдем длину хорды (MN) с помощью теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике MNR1:

R1^2 = (R2 - h)^2 + MN^2

Мы знаем, что R1 = R2 + h (так как радиус первой окружности R1 равен расстоянию до точки пересечения М от центра второй окружности, что равно R2 + h).

Теперь можем перейти к решению:

R1^2 = (R2 + h - h)^2 + MN^2 R1^2 = R2^2 + MN^2

Из предыдущего уравнения (из прямоугольного треугольника MNR2) получим:

MN^2 = R1^2 - R2^2

Теперь найдем длину дуги, отсекаемой хордой MN от окружности R1. Обозначим эту длину за L1.

L1 = 2 * arcsin(MN / 2 * R1)

Теперь найдем длину дуги, отсекаемой хордой MN от окружности R2. Обозначим эту длину за L2.

L2 = 2 * arcsin(MN / 2 * R2)

Теперь можем найти отношение длины дуги к длине хорды:

Отношение = L1 / MN = (2 * arcsin(MN / 2 * R1)) / MN

Теперь подставим MN^2 из предыдущих вычислений:

Отношение = (2 * arcsin(sqrt(R1^2 - R2^2) / 2 * R1)) / sqrt(R1^2 - R2^2)

Пожалуйста, обратите внимание, что данное уравнение для отношения длины дуги к длине хорды (L1 / MN) относится к случаю, когда обе окружности пересекаются. В случае, когда одна окружность полностью содержится внутри другой, отношение длины дуги к длине хорды будет равно π (как было показано в первом случае).