Question

Приведите два примера доказательства теоремы Пифагора

Answer 1

Теорема Пифагора действительно только для прямоугольных треугольников. Она выглядит так - а^2 + b^2 = c^2

Т. е. первый катет^2 + второй катет^2 = гипотенуза^2

Если нам неизвестен какой-либо из катет пользуемся правилом суммы. (Чтоб найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое). И получится

a^2 = c^2 -b^2; либо

b^2 = c^2 - а^2 .

№1 Возьмём прямоугольный треугольник, у которого первый катет равен 15 см, второй - 8 см, а гипотенуза равна 17 см. Предположим нам неизвестен первый катет. И тут мы берём теорему Пифагора

а^2 + b^2 = c^2

Так как нам неизвестен катет пользуемся правилом суммы и у нас получается :

a^2 = c^2 -b^2

Подставляем числа:

a^2 = 17^2 - 8^2

a^2 = 289 - 64 = 225

Извлекаем корень из 225.

a = 15 см. Что и требовалось доказать.

№2 Возьмём прямоугольный треугольник, у которого первый катет равен 8 см, второй катет - 6 см, гипотенуза - 10 см.

Предположим нам надо найти гипотенузу

а^2 + b^2 = c^2

8^2 + 6^2 = а^2 + b^2 = c^2

64 + 36 = c^2

100 =  c^2

Извлекаем корень из 100.

с = 10 что и требовалось доказать.

__________

Есть способ проще -

8^2 + 6^2 = 10^2

100 = 100

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Конечно! Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Формально, если а, b и c - длины сторон прямоугольного треугольника, где c - гипотенуза, то выполняется равенство: a^2 + b^2 = c^2.

Вот два примера доказательства этой теоремы:

1. Геометрическое доказательство:

Представим прямоугольный треугольник с катетами a и b, а гипотенузой c. Тогда можно нарисовать квадрат со стороной c и разделить его на четыре равных прямоугольных треугольника и один маленький квадрат со стороной a и другой маленький квадрат со стороной b.

cssCopy code
           /|
          / |
     a   /  | b
        /   |
       /____|
          c

Теперь, перенесем маленькие квадраты в один из углов большего квадрата:

markdownCopy code
  _____ _____
 |a    |c    |
 |_____|_____|
 |     b     |
 |___________|

Очевидно, что образовавшийся внутри квадрата имеет площадь, равную сумме площадей маленьких квадратов: a^2 + b^2. С другой стороны, этот квадрат имеет площадь, равную квадрату гипотенузы c^2. Таким образом, a^2 + b^2 = c^2, что и является теоремой Пифагора.

2. Алгебраическое доказательство:

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник с катетами a и b, и гипотенузой c. Мы можем использовать теорему Пифагора для квадрата этого треугольника:

a^2 + b^2 = c^2

Теперь, давайте представим, что прямоугольный треугольник находится в координатной плоскости, и вершина с углом 90 градусов находится в точке (0,0). Тогда координаты точек катетов будут (0, a) и (b, 0), а координаты точки на гипотенузе будут (c, c).

Теперь мы можем использовать расстояние между точками в координатной плоскости:

• Расстояние между (0, a) и (b, 0) равно √(b-0)^2 + (0-a)^2 = √(b^2 + a^2).
• Расстояние между (0, a) и (c, c) равно √(c-0)^2 + (c-a)^2 = √(c^2 + (c-a)^2).

Теперь, поскольку прямоугольный треугольник имеет одну и ту же гипотенузу, то и эти расстояния равны между собой:

√(b^2 + a^2) = √(c^2 + (c-a)^2)

Теперь возведем обе части равенства в квадрат, чтобы избавиться от корней:

b^2 + a^2 = c^2 + (c-a)^2

Раскроем скобки:

b^2 + a^2 = c^2 + c^2 - 2ac + a^2

Упростим выражение:

b^2 + a^2 = 2c^2 - 2ac

Теперь добавим 2ac в обе части уравнения:

b^2 + a^2 + 2ac = 2c^2

И, наконец, выразим c^2:

c^2 = b^2 + a^2

Что и является теоремой Пифагора: a^2 + b^2 = c^2.