Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-1 ;1] f(x) = 0,2x^5-x^3-4x+1

Answer 1

1. Областью определения этой функции является любое действительное число, поскольку она задана в виде многочлена.

2. Находим производную функции. Она равна (5икс в четвертой степени ) минус (3х²) -4

3. Приравняем  к нулю производную, решив уравнение эф штрих равно нулю, т.е. найдем критические точки этой функции. Напомню. критические точки - это внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Производная существует везде, остается  проверить, в каких точках она обращается  в нуль. Примем х²=у- число, большее нуля, если оно равно нулю, то получаем -4=0, а это не так. Перейдем к уравнению относительно у. получим у²-3у-4=0, по теореме Виета у₁=4, у₂= -1- сразу отбрасываем, остается у₁=4, т.е. х²=4, это уравнение дает два корня х₁=2 и х₂ =-2,  оба не попадают на отрезок [-1;1 ],  заданный по условию. Остается проверить только концы отрезка, т.е. найти значения функции в точках -1 и 1.

у(-1)= -0,2-(-1)-4*(-1)+1= 5,8,            у(1)=0,2-1-4+1=-3,8. Из этих значений и выбираем наибольшее и наименьшее значения функции  на указанном отрезке . Наибольшее значение равно 5,8; наименьшее равно -3,8.

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) на отрезке [-1; 1], следует выполнить несколько шагов:

1. Найдите критические точки, где производная функции равна нулю или не существует.
2. Определите значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка [-1; 1].
3. Сравните найденные значения, чтобы определить наименьшее и наибольшее значение.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x) и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

f'(x) = d/dx (0.2x^5 - x^3 - 4x + 1) f'(x) = 1.0x^4 - 3.0x^2 - 4.0

Теперь приравняем производную к нулю:

1.0x^4 - 3.0x^2 - 4.0 = 0

Шаг 2: Решим уравнение выше, чтобы найти критические точки. Мы можем использовать численные методы или аналитическое решение. В данном случае воспользуемся численным методом.

Посчитаем значения производной в интервалах между -1 и 1:

f'(-1) ≈ 1.0*(-1)^4 - 3.0*(-1)^2 - 4.0 ≈ 1.0 - 3.0 - 4.0 = -6.0 f'(0) ≈ 1.0*(0)^4 - 3.0*(0)^2 - 4.0 ≈ 0.0 - 0.0 - 4.0 = -4.0 f'(1) ≈ 1.0*(1)^4 - 3.0*(1)^2 - 4.0 ≈ 1.0 - 3.0 - 4.0 = -6.0

Таким образом, производная меняет знак на отрезке [-1; 0] и [0; 1]. Изменившиеся знаки производной указывают на наличие экстремумов в точках -1 и 0.

Шаг 3: Определим значения функции в критических точках и на концах отрезка [-1; 1]:

f(-1) = 0.2*(-1)^5 - (-1)^3 - 4*(-1) + 1 = 0.2 + 1 + 4 + 1 = 6.2 f(0) = 0.2*(0)^5 - (0)^3 - 4*(0) + 1 = 0.2 + 0 + 0 + 1 = 1 f(1) = 0.2*(1)^5 - (1)^3 - 4*(1) + 1 = 0.2 - 1 - 4 + 1 = -3.8

Шаг 4: Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка, чтобы определить наибольшее и наименьшее значение:

Наибольшее значение: 6.2 Наименьшее значение: -3.8

Таким образом, наибольшее значение функции f(x) на отрезке [-1; 1] равно 6.2, а наименьшее значение равно -3.8.