Question

Доказать Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника​

Answer 1

Докажем, что в треугольнике АВС с основанием АС биссектриса ВТ, проведенная из угла В, будет и медианой, и высотой. НО! Подчеркиваю, этим свойством обладает только биссектриса, проведенная к ОСНОВАНИЮ равнобедр. треугольника. Две другие биссектрисы этим свойством не обладают.

Итак, как доказать?

1. Раз это биссектриса, то она делит угол АВС пополам. т.е. в треугольниках АВТ И СВТ углы АВТ и СВТ равны,,

2. Углы  А и С равны, как углы при основании равнобедренного треугольника.

3. АВ=СВ, как боковые стороны равнобедр. треугольника АВС

ВЫВОд треугольники АВТ и СВТ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, т.е. по второму признаку равенства треугольников, а в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Значит, АТ=СТ. Т.е. ВТ - медиана.

И против равных сторон (АВ и СВ) лежат равные углы АТВ и СТВ, но они в сумме составляют 180°, т.к. смежные, получается, раз они равны, то каждый по 90°, т.е. ВТ - высота

Answer 2

Для того чтобы доказать свойство биссектрисы равнобедренного треугольника, предположим, что у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Пусть BD - биссектриса угла B, и она пересекает сторону AC в точке D.

Мы хотим доказать, что BD = CD, то есть что биссектриса делит сторону AC пополам.

Для начала, обратим внимание на следующие углы и их соотношения в треугольнике:

1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠ABC = ∠ACB.
2. Угол, образованный биссектрисой и стороной треугольника, равны: ∠ABD = ∠CBD.

Теперь давайте рассмотрим треугольники ABD и BCD:

• В обоих треугольниках ABD и BCD общий угол: ∠ABD = ∠CBD (как углы биссектрисы).
• У нас также есть равные углы ∠ABC = ∠ACB (так как треугольник равнобедренный).
• А также сторона BD общая для обоих треугольников.

Теперь мы можем применить принцип подобия треугольников ASA (угол-сторона-угол):

• Угол ∠ABD = ∠CBD
• Угол ∠ABC = ∠ACB
• Сторона BD общая для обоих треугольников

Следовательно, треугольники ABD и BCD подобны. Поскольку они подобны, отношение длин соответствующих сторон будет одинаковым. Так как BD и CD - это соответствующие стороны, мы можем записать:

BD/CD = AB/AC

Из условия задачи AB = AC (так как треугольник равнобедренный), поэтому:

BD/CD = 1

Это означает, что BD и CD имеют одинаковую длину:

BD = CD

Таким образом, мы доказали, что биссектриса угла B равнобедренного треугольника делит противоположную сторону AC пополам.