Question

Дана окружность (O;OC). Из точки M, которая находится вне окружности, проведена секущая MB и касательная MC. OD — перпендикуляр, проведённый из центра окружности к секущей MB и равный 8 см. Найди радиус окружности, если известно, что MB равен 40 см и MC равен 20 см.

Answer 1

▪По свойству касательной и секущей:

МС² = МА • МВ  ⇒  МА = МС²/МВ = 20²/40 = 400/40 = 10 см

▪ΔАОВ - равнобедренный, АО = ВО - как радиусы окружности, поэтому OD - высота, медиана и биссектриса.

АВ = МВ - МА = 40 - 10 = 30 см

AD = DB = AB/2 = 30/2 = 15 см

▪В ΔDOB: по теореме Пифагора

ВО² = DB² + DO² = 15² + 8² = 225 + 64 = 289

Значит, ВО = 17 см - искомый радиус окружности

ОТВЕТ: R = 17 см

Answer 2

Для решения этой задачи, воспользуемся свойствами касательных и секущих окружности.

1. Перпендикуляр из центра окружности к секущей MB разделит её пополам. Обозначим точку пересечения перпендикуляра с секущей как точку P.

2. Так как MB равна 40 см, а OD равен 8 см, то PD также равен 8 см (так как OD и PD - два перпендикуляра, опущенные из одной точки O к двум параллельным прямым MB и PC).

3. Из прямоугольного треугольника POM (где M - точка пересечения касательной и секущей, а O - центр окружности), используем теорему Пифагора:

   OP^2 + PM^2 = OM^2

   Заметим, что OM - радиус окружности (R), а PM - половина секущей MB, то есть 20 см.

   Таким образом, R^2 + 20^2 = (R + 8)^2

   Раскроем скобки и упростим уравнение:

   R^2 + 400 = R^2 + 16R + 64

4. Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

   R^2 - R^2 - 16R = 64 - 400

   -16R = -336

5. Разделим обе части уравнения на -16:

   R = 21

Таким образом, радиус окружности равен 21 см.