Question

Точка В лежит между точками А и С на отрезках АВ и АС как на диаметрах построенной окружности. К отрезку АС в точке В проведен перпендикуляр до пересечения с большей окружностью в точке Д. Из точки С проведена касательная СК к меньшей окружности. Доказать , что СД = СК

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Пусть O — середина отрезка AB. В прямоугольном треугольнике ADC отрезок BD — высота, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому DC2 = BC . AC. С другой стороны, по теореме о касательной и секущей CK2 = BC . AC. Следовательно, CD = CK.

Answer 2

Для доказательства равенства СД = СК нам понадобится воспользоваться свойствами окружностей, касательных и перпендикуляров.

Обозначим:

• Окружность с диаметром АВ как "окружность 1".
• Окружность с диаметром АС как "окружность 2".
• Точку пересечения перпендикуляра, проведенного из В к отрезку АС, с окружностью 1 как точку "Д".
• Точку пересечения касательной, проведенной из С к окружности 2, с окружностью 1 как точку "К".

Теперь рассмотрим два треугольника: △АВД и △СКД.

1. Треугольник △АВД: У нас уже есть информация, что точка В лежит между точками А и С на отрезках АВ и АС, как на диаметрах построенной окружности. По свойству окружности, угол, составленный диаметром и хордой, является прямым углом. Значит, угол АВД = 90°.

2. Треугольник △СКД: Также по свойству окружности, угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, является прямым углом. Значит, угол СКД = 90°.

Теперь сравним два треугольника △АВД и △СКД. У них оба прямого угла равны 90°, а угол АВД = угол СКД (по условию). Значит, эти два треугольника подобны по прямоугольному признаку (ППП).

По ППП следует, что соответствующие стороны треугольников пропорциональны. Сравним стороны, обозначим стороны △АВД как "а", "b" и "c", а стороны △СКД как "p", "q" и "r":

a/b = p/q a/c = p/r

Мы знаем, что у отрезка АВ, который является диаметром окружности 1, длина равна диаметру, следовательно a = b. Аналогично, у отрезка АС, который также является диаметром окружности 2, длина равна диаметру, следовательно a = c.

Теперь у нас получается:

b/b = p/q b/c = p/r

Так как b/b = 1 (любое число деленное на само себя равно 1), то мы можем упростить выражение:

1 = p/q 1 = p/r

Отсюда следует, что p = q и p = r, что означает, что отрезки СД и СК имеют одинаковую длину, то есть СД = СК.

Таким образом, мы доказали, что СД равно СК.