Question

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точки M и N лежат на сторонах AB и CD соответственно, причём отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Диагональ AC пересекает этот отрезок в точке O. Известно, что площади треугольников AMO и CNO равны. а) Доказать, что CM║AN. б) Найдите MN, если AD = a и BC = b.

Answer 1

Ответ: MN=√ab

Объяснение:

Рассмотрим рисунки приложения.

а) Примем площади равновеликих ( по условию) треугольников АМО и NСO равными m, а площадь ∆ МОС=k.  Тогда S(АМС)=m+ k, S(NMC)=m+k, ⇒ S(АМС)=S(NMC). Оба эти треугольника имеют общее основание МС, следовательно, их высоты (на рисунке они выделены красным цветом) равны.  ⇒ расстояние между точками А  и N и прямой МС равны ⇒ МС||АN. Доказано.

б) На основании параллельности ВС║MN║AD и MC║AN с общими секущими ∆ МВС~ ∆ АMN. Из подобия следует отношение а:MN=МС:АС. Аналогично ∆ МСN~∆AND ⇒ MN:b=MC:AC, из чего следует  а:MN=MN:b и MN²=ab, ⇒ MN=√ab

Answer 2

Вариант решения:

а) S amo = S cno - по условию

S amo = (1/2)•MO•AO•sin∠AOM

S cno = (1/2)•NO•CO•sin∠CON

∠AOM = ∠CON - как вертикальные ⇒ MO•AO = NO•CO ⇒

MO/NO = CO/AO = k

∠MOC = ∠AON - как вертикальные ⇒ ΔМОС подобен ΔAON по двум пропорциональным сторонам и углу между ними ⇒ ∠ОМС = ∠ОNA - накрест лежащие углы ⇒ СМ || AN, ч.т.д.

б) Пусть NO = x, AO = y. Тогда МО = kx, CO = ky

ΔAMO подобен ΔАВС:   MO/BC = AO/AC

kx/a = y/(y+ky) = y/y(1+k) = 1/(k+1) ⇒ x/a = 1/k(k+1)

ΔOCN подобен ΔACD:  NO/AD = CO/AC

x/b = ky/(y+ky) = k/(k+1)

Заметим, b/a = (x/a)•(b/x) = ( 1/k(k+1) ) • (k+1)/k = 1/k²

⇒ k = √(a/b)

MN = kx + x = x(k+1)  ;  x = a/k(k+1)

MN = a•(k+1) / k(k+1) = a/k = a • √(a/b) = √(ab)

ОТВЕТ: б) √(аb)

Answer 3

Для доказательства и решения данной задачи, давайте рассмотрим несколько шагов.

а) Доказательство того, что CM параллельно AN: Пусть S1 обозначает площадь треугольника AMO, а S2 обозначает площадь треугольника CNO.

Из условия задачи, мы знаем, что S1 = S2.

Теперь, давайте рассмотрим площади треугольников AMO и CMO. Так как треугольники AMO и CNO равны по площади, а вершины O и N лежат на одной и той же прямой AC, значит, треугольники AMO и CMO также равны по площади. Это следует из свойств площадей треугольников, если у них общая высота и базы на одной и той же прямой.

Теперь предположим, что CM не параллельно AN. Тогда треугольники AMO и CMO не могут быть равными по площади, так как их базы (AM и MC) и высоты (отрезок, соединяющий M и O) не находятся на одной прямой. Это противоречие с условием задачи.

Следовательно, наше предположение было неверным, и CM должно быть параллельно AN.

б) Найдем значение MN, используя подобные треугольники:

Из параллельности CM и AN следует, что треугольники AMN и CMN подобны. Пусть k обозначает коэффициент подобия, тогда:

k = AM / CM = AN / CN

Также у нас есть условие, что S1 = S2, что можно записать так:

(1/2) * AM * AO = (1/2) * CN * CO

Теперь заметим, что AO = CO, так как обе они являются диагоналями трапеции ABCD. Подставим это в выражение:

AM * AO = CN * CO

Также, заметим, что AM = AN + MN и CN = CM + MN, так как точки M и N делят стороны AB и CD, соответственно.

Подставим это:

(AN + MN) * AO = (CM + MN) * CO

Теперь заметим, что AO = CO и поделим обе стороны на MN:

AN = CM + MN

Теперь, мы знаем, что AM = AN + MN, таким образом:

AM = CM + 2 * MN

Теперь, мы знаем выражение для коэффициента подобия k:

k = AM / CM

Подставим выражение AM:

k = (CM + 2 * MN) / CM

Теперь найдем MN:

k * CM = CM + 2 * MN

k * CM - CM = 2 * MN

MN = (k * CM - CM) / 2

Таким образом, MN равно (k * CM - CM) / 2. Мы знаем, что k = AM / CM, а AM и CM можно выразить через a и b:

AM = a + b CM = a

Теперь вычислим MN:

k = (a + b) / a = 1 + b / a

MN = [(1 + b / a) * a - a] / 2

MN = (a + b - a) / 2

MN = b / 2

Таким образом, MN = b / 2.