Question

докажите, что если два отрезка пересекаются в середине, то отрезки, соединяющие концы данных отрезков, параллельны​

Answer 1

Смотри приложение

Пусть AB пересекает CD в точке О, так что AO=OB и CO=OD

Тогда ∠AOD=∠COB как вертикальные

Следовательно, ΔAOD=ΔCOB по двум равным сторонам и углу между ними.

Теперь можно утверждать, что ∠ODA=∠OCB как соответственные части равных треугольников

А эти углы накрест лежащие при отрезках AD и CB и секущей CD

Следовательно, прямые параллельны, так как накрест лежащие углы равны

Answer 2

Допустим, у нас есть два отрезка AB и CD, которые пересекаются в середине в точке M. То есть, AM = MB и CM = MD.

Чтобы доказать, что отрезки, соединяющие концы этих отрезков, параллельны, давайте обозначим точки E и F, где E - середина отрезка AD, а F - середина отрезка BC. То есть, AE = ED и CF = FB.

Теперь предположим, что отрезки EF и CD не параллельны. В таком случае, они пересекаются в некоторой точке G.

Теперь рассмотрим треугольники AME и CGM.

По условию, AM = MB, и AE = ED, следовательно, по свойству равнобедренных треугольников, угол AEM равен углу DEM.

Аналогично, CM = MD, и CF = FB, следовательно, угол CGM равен углу FGM.

Также, по условию, отрезки EF и CD пересекаются в точке G, следовательно, угол AEM равен углу CGM (оба угла соответственные).

Но мы также знаем, что угол AEM равен углу DEM и угол CGM равен углу FGM.

Из этих равенств следует, что угол DEM равен углу FGM.

Рассмотрим треугольникы DME и GFM.

У них есть два равных угла: DME и FGM, и у них есть общая сторона FM.

Следовательно, по теореме об одинаковых углах, эти треугольники должны быть подобными.

Поскольку эти треугольники подобны, соответствующие стороны пропорциональны. Так как AM = MB и CM = MD, то DE = EF.

Но мы также знаем, что AE = ED и CF = FB.

Из этого следует, что DE = AE и EF = CF.

Теперь, если DE = AE и EF = CF, то отрезки EF и AD совпадают.

Но это противоречит условию, что точка G является точкой пересечения отрезков EF и CD.

Таким образом, наше предположение было неверным, и отрезки EF и CD действительно параллельны, что и требовалось доказать.