Question

Дам 20 балов В прямоугольном треугольнике (∠A = 90°) величина угла B составляет 30°. Из вершины угла C проведена биссектриса CD, которая разбивает противоположный катет на отрезки AD и BD. 1) докажите, что ∆ABC ~ ∆ACD; 2)найдите отношение AD : BD.

Answer 1

Поскольку биссектриса делит угол пополам, то

∠ДСА=∠ДСВ=60°, /2=30°, и тогда в ΔАДС угол Д равен 60°, т.е. 180°-90°-30°=60°.

Треугольники АВС и АСД подобны по первому признаку подобия, во - первых, у них есть общий прямой угол А, а во-вторых, ∠В=∠С=30°.

Треубуемое доказано по двум равным углам в треугольниках.

По свойству биссектрисы угла - она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, поэтому

АД/ВД =АС/ВС=1/2=0,5, поскольку АС- катет, лежащий против угла в 30°, и он равен половине гипотенузы ВС.

Answer 2

Для решения задачи, давайте выполним следующие шаги:

1. Докажем, что треугольники ∆ABC и ∆ACD подобны.

2. Найдем отношение AD : BD.

3. Доказательство подобия треугольников ∆ABC и ∆ACD: У нас есть прямоугольный треугольник ∆ABC с углом B = 30° и вершиной C, из которой проведена биссектриса CD.

a) Найдем угол ∠ACD: В прямоугольном треугольнике ∆ABC с углом B = 30°, угол A = 90°, следовательно, угол C = 180° - 90° - 30° = 60°.

Теперь, так как CD является биссектрисой угла ∠ACB, угол ∠ACD равен половине угла ∠ACB: ∠ACD = 1/2 * ∠ACB = 1/2 * 30° = 15°.

b) Найдем угол ∠CAD: В прямоугольном треугольнике ∆ACD с углом ∠ACD = 15° и углом A = 90°, угол ∠CAD = 180° - 90° - 15° = 75°.

Теперь у нас есть следующие углы:

∠BAC = 90° ∠ABC = 30° ∠ACD = 15° ∠CAD = 75°

Следовательно, углы ∆ABC и ∆ACD равны, и треугольники ∆ABC и ∆ACD подобны.

2. Найдем отношение AD : BD: Поскольку треугольники ∆ABC и ∆ACD подобны, отношение их соответствующих сторон равно.

Отношение длин катетов AD и BD равно отношению длин катета AC к гипотенузе AB: AD : BD = AC : AB.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике ∆ABC, гипотенуза AB равна длине катета AC. Следовательно, AD : BD = AC : AC = 1 : 1.

Ответ: Отношение AD : BD равно 1 : 1.