Question

хорды AB и CD пересекаются в точке K. Найдите длину CD, если AК равен 4 см, ВК равен 15 см, а длина СК на 7 см меньше длины DK.​

Answer 1

По теореме о пересекающихся хордах:  

AK*BK=CK*DK  

пусть CD=x тогда  

CK=x/2-7/2  

DK=x/2+7/2  

4*15=(x/2-7/2)*(x/2+7/2)  

16*15=x²-49  

x²=289  

x=17

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о пересекающихся хордах:

Когда две хорды пересекаются внутри окружности, произведение длин отрезков каждой хорды равно:

$AK \cdot BK = CK \cdot DK$

Мы знаем, что $AK = 4$ см и $BK = 15$ см, а также $CK = DK - 7$.

Подставим известные значения в уравнение:

$4 \cdot 15 = (DK - 7) \cdot DK$

Раскроем скобки:

$60 = DK^2 - 7DK$

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

$DK^2 - 7DK - 60 = 0$

Далее решим квадратное уравнение, чтобы найти длину $DK$:

$DK = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

где $a = 1$, $b = -7$ и $c = -60$.

$DK = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60)}}{2 \cdot 1}$

$DK = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 240}}{2}$

$DK = \frac{7 \pm \sqrt{289}}{2}$

$DK = \frac{7 \pm 17}{2}$

Так как $DK$ является длиной отрезка, он не может быть отрицательным. Поэтому выбираем только положительное значение:

$DK = \frac{7 + 17}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см

Теперь, когда мы нашли длину $DK$, найдем длину $CD$:

$CD = CK + DK$

$CD = (DK - 7) + DK$

$CD = 12 - 7 + 12$

$CD = 17$ см

Таким образом, длина $CD$ равна 17 см.