Question

Доказать, что центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника, в округ тупоугольного - вне

Answer 1

Объяснение:

В тупоугольном треугольнике больший угол опирается на дугу больше 180° откуда получается что центр окружности лежит вне треугольника, обратное с остроугольным.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим остроугольный треугольник и тупоугольный треугольник отдельно.

1. Остроугольный треугольник:

Остроугольный треугольник - это треугольник, у которого все углы острые (меньше 90 градусов).

Для остроугольного треугольника, центр окружности, описанной вокруг него, будет лежать внутри треугольника. Давайте докажем это:

Предположим, что у нас есть остроугольный треугольник ABC, и O - это центр окружности, описанной вокруг треугольника ABC.

Для доказательства, давайте рассмотрим радиусы трех окружностей:

1. Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен R (это радиус описанной окружности).
2. Радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен r (это радиус вписанной окружности).
3. Радиус окружности, описанной около треугольника XYZ, где XYZ - медианы треугольника ABC, равен R' (это радиус описанной окружности для медианного треугольника).

Существует известное свойство остроугольных треугольников: R > 2r. Таким образом, радиус описанной окружности (R) больше, чем радиус вписанной окружности (r) в два и более раза.

Теперь давайте предположим, что центр описанной окружности (O) лежит вне треугольника ABC. Тогда существует точка на окружности (назовем её P), которая является наиболее удаленной от стороны треугольника ABC. Но по свойству остроугольных треугольников, радиус описанной окружности (R) должен быть больше, чем радиус вписанной окружности (r) в два и более раза, и точка P не может быть наиболее удаленной от стороны треугольника. Таким образом, предположение о том, что центр описанной окружности лежит вне треугольника, приводит к противоречию.

Следовательно, центр описанной окружности должен лежать внутри остроугольного треугольника ABC.

2. Тупоугольный треугольник:

Тупоугольный треугольник - это треугольник, у которого один из углов больше 90 градусов.

Для тупоугольного треугольника, центр окружности, описанной вокруг него, будет лежать вне треугольника. Это может быть установлено с использованием аналогичных рассуждений, как и для остроугольных треугольников. Можно заметить, что свойство R > 2r не выполняется для тупоугольных треугольников, и поэтому существует точка на окружности (P), которая находится внутри треугольника, но находится дальше всех сторон треугольника. Это подтверждает, что центр описанной окружности лежит вне тупоугольного треугольника.

Таким образом, мы доказали, что центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника и вне тупоугольного треугольника.