Question

Внутри равностороннего треугольника отмечена точка. Докажите, что сумма расстояний от этой точки до двух вершин треугольника больше, чем расстояние от этой точки до третьей вершины.

Answer 1

ΔАВС - равносторонний: АВ=ВС=СА=а

О - точка в центре.

доказать что ВО+СО > АО

1)АО < а, хотя бы потому, что если мы начертим окружность радиусом "а" с центром в "А", то СВ будет хордой этой окружности, значит все точки ΔАВС лежат внутри окружности, значит меньше радиуса.

2)ВО и СО - сторону ΔВСО и следовательно ВО + СО > a, так как ВС=а.

значит ВО+СО > АО

Answer 2

Пусть у нас есть равносторонний треугольник ABC, внутри которого отмечена точка P. Давайте обозначим длину стороны треугольника как "a".

Чтобы доказать, что сумма расстояний от точки P до двух вершин треугольника больше, чем расстояние от точки P до третьей вершины, давайте воспользуемся неравенством треугольника.

Неравенство треугольника утверждает, что для любого треугольника с сторонами a, b и c справедливо следующее:

a + b > c b + c > a c + a > b

Теперь рассмотрим расстояния от точки P до вершин треугольника:

Пусть d1 - расстояние от P до вершины A, d2 - расстояние от P до вершины B, d3 - расстояние от P до вершины C.

Теперь давайте рассмотрим каждую из сумм:

1. d1 + d2 - это сумма расстояний от точки P до вершин A и B.
2. d2 + d3 - это сумма расстояний от точки P до вершин B и C.
3. d3 + d1 - это сумма расстояний от точки P до вершин C и A.

Мы должны доказать, что одна из этих сумм больше, чем расстояние от точки P до третьей вершины, то есть, например, d1 + d2 > d3.

Теперь давайте предположим, что это не так, и d1 + d2 ≤ d3.

Тогда применим неравенство треугольника к треугольнику ABP:

d1 + d2 > BP

Применим неравенство треугольника к треугольнику BCP:

BP + d3 > BC

Теперь объединим эти два неравенства:

d1 + d2 + d3 > BC

Но мы знаем, что треугольник ABC - равносторонний, так что BC = a.

Теперь у нас есть:

d1 + d2 + d3 > a

Это противоречит нашему предположению, что d1 + d2 ≤ d3. Следовательно, наше предположение неверно, и мы можем заключить, что:

d1 + d2 > d3

Аналогично можно доказать и другие неравенства, что d2 + d3 > d1 и d3 + d1 > d2.

Таким образом, мы доказали, что сумма расстояний от точки P до двух вершин треугольника всегда больше, чем расстояние от точки P до третьей вершины.