Question

в прямоугольном треугольнике DEK (E = 90°) DK=16°,DKE=30°. С центром в точке D проведена окружность .Каким должен быть ее радиус,чтобы: а) окружность касалась прямой EK. b) окружность не имела общих точек с прямой EK c) Окружность имела две общие точки с прямой EK​

Answer 1

1. R=8 1точка косания
2. R<8 нет общих точек
3. R>8 2 точки пересечения

Answer 2

Чтобы решить данную задачу, мы воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и касательных к окружности.

Обозначим за:

• R - радиус окружности,
• x - расстояние от точки D до точки касания окружности с прямой EK.

a) Окружность касается прямой EK: В данном случае, радиус окружности будет равен расстоянию x. Кроме того, у нас имеется прямоугольный треугольник DKE, где DK - гипотенуза, DE - катет, а EK - другой катет. В таком треугольнике справедливо следующее соотношение:

EK^2 + DE^2 = DK^2

Так как DK = 16 и угол DKE = 30°, то:

EK^2 + R^2 = 16^2 EK^2 + R^2 = 256

Теперь у нас также есть прямоугольный треугольник DEK, где DE - гипотенуза, EK - катет, а DK - другой катет. Учитывая, что EK = x, получаем:

R^2 + x^2 = DE^2 R^2 + x^2 = DE^2 = DK^2 - EK^2 = 16^2 - x^2

Теперь мы можем составить систему уравнений:

1. EK^2 + R^2 = 256
2. R^2 + x^2 = 16^2 - x^2

Решим систему:

Из уравнения 1 получаем: EK^2 = 256 - R^2 Подставляем в уравнение 2: R^2 + x^2 = 16^2 - x^2 2x^2 = 16^2 - R^2 x^2 = (16^2 - R^2) / 2 x = √((16^2 - R^2) / 2)

Ответ: радиус окружности должен быть равен x = √((16^2 - R^2) / 2).

b) Окружность не имеет общих точек с прямой EK: В данном случае, расстояние x будет больше радиуса окружности. Для этого нужно убедиться, что x > R.

R^2 + x^2 > R^2

Так как x > R, то нам нужно найти такое значение радиуса R, чтобы условие выполнялось.

Ответ: радиус окружности R должен быть меньше расстояния x до прямой EK.

c) Окружность имеет две общие точки с прямой EK: В данном случае, расстояние x будет меньше радиуса окружности, но при этом, x > 0. То есть, окружность будет касаться прямой EK внутренним образом.

0 < x < R

Ответ: радиус окружности R должен быть больше расстояния x до прямой EK и больше 0.