Question

В прямоугольном треугольнике abc проведена высота ch из вершины прямого угла c, а в треугольнике ach – биссектриса ce. докажите, что cb = be.

Answer 1

Вот ответ, иногда стоит просто забить в поиске) Да, он действительно был так близко)

Answer 2

Для доказательства, что CB = BE, мы можем использовать свойства треугольников и прямоугольных треугольников.

Поскольку CH является высотой треугольника ABC из вершины C, она перпендикулярна AB. Таким образом, у нас имеется два прямоугольных треугольника: ACH и CBH.

Теперь рассмотрим треугольник ACH. Поскольку CE является биссектрисой угла ACB, она делит угол ACB на два равных угла, т.е. ∠ACE = ∠ECB.

Также, по определению биссектрисы, отрезок AE делит сторону AC на две пропорциональные части, т.е. AC/AE = CB/BE.

Теперь рассмотрим треугольник CBH. У него угол CBH является прямым углом. Также, угол BCH является общим углом с треугольником ACH. Таким образом, угол CBH = ∠ECB.

Теперь сравним соответствующие части двух треугольников:

1. Мы знаем, что ∠ACE = ∠ECB.

2. Мы знаем, что ∠CBH = ∠ECB.

3. Мы знаем, что AC/AE = CB/BE.

Из пунктов 1) и 2) следует, что ∠ACE = ∠CBH. Таким образом, у треугольников ACH и CBH два угла равны между собой.

Из пункта 3) следует, что отношение сторон AC/AE равно отношению сторон CB/BE.

Согласно свойству треугольников, если два угла и отношение сторон между ними равны, то треугольники равны.

Таким образом, треугольник ACH и треугольник CBH равны между собой.

А значит, стороны BC и BE равны: CB = BE.