Question

Діагональ рівнобічної трапеції поділяє висоту, проведену з вершини тупого кута, на відрізки завдовжки 10 см і 8 см. Знайдіть площу трапеції, якщо її менша основа дорівнює бічній стороні трапеції. ​

Answer 1

Дано: трапеция ABCD;  BC║AD;  AB = BC = CD;

          BK⊥AD;  BK ∩ AC = N;  BN = 10 см; NK = 8 см

Найти:  $S_{ABCD}$

Решение :

Пусть  AB = BC = CD = x.

ΔANK и ΔCNB - прямоугольные.

∠ANK = ∠CNB - как вертикальные углы,

⇒ ΔANK ~ ΔCNB  по острому углу.

$\dfrac{NK}{NB}=\dfrac{AK}{BC}\\\\AK=\dfrac{NK}{NB}\cdot BC=\dfrac8{10}\cdot x=\dfrac 45x$

ΔAKB - прямоугольный. По теореме Пифагора:

$AB^2=AK^2+BK^2\\\\x^2=\left(\dfrac45x\right)^2+(10+8)^2\\\\x^2=\dfrac{16}{25}x^2+18^2\\\\\dfrac9{25}x^2=18^2;\ \ \ x=18\cdot \dfrac53=30$

AB = BC = CD = 30 см

$AK=\dfrac45x=\dfrac45\cdot 30=24$ см

Трапеция равнобедренная:

⇒  AD = 2AK + BC = 2 · 24 + 30 = 78 см

$S_{ABCD}= \dfrac{AD+BC}2\cdot BK=\\\\=\dfrac{78+30}2\cdot (10+8)=108\cdot 9=972$

Ответ: S = 972 см²

Answer 2

Для розв'язання задачі про площу трапеції, спочатку знайдемо висоту трапеції.

Позначимо висоту трапеції як h, а сторони меншої і більшої основи як a і b відповідно.

Ми знаємо, що діагональ трапеції поділяє висоту на дві частини, довжини яких 10 см і 8 см. Таким чином, ми можемо записати наступну рівність:

h = 10 см + 8 см = 18 см

Тепер, оскільки менша основа дорівнює бічній стороні трапеції (a), а більша основа (b) і діагональ (d) створюють дві праві кути трикутника, можемо скористатися теоремою Піфагора для знаходження b:

b² = a² + h² b² = a² + (18 см)² b² = a² + 324 см²

Також, ми знаємо, що більша основа трапеції поділена діагоналлю на дві частини, довжини яких 10 см і 8 см. Тому ми можемо записати:

b = 10 см + 8 см = 18 см

Тепер, ми маємо систему рівнянь:

b² = a² + 324 см² b = 18 см

З цієї системи рівнянь можна знайти значення a:

(18 см)² = a² + 324 см² 324 см² = a² + 324 см² a² = 0

Тепер ми знаходимо, що a = 0. Оскільки a - це довжина сторони трапеції, а довжина сторони не може бути нульовою, отже, в нашому випадку така трапеція не можлива.

Отже, щоб існувала рівнобічна трапеція з такими характеристиками, вимоги повинні бути переглянуті, і, можливо, допущено помилку в даних задачі.