Question

В прямую призму вписан цилиндр, площадь полной поверхности которого равна 106п. Основание призмы — ромб с углом 45°. Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно 5√2 Найдите объем призмы.

Answer 1

Ответ: 1200π

Объяснение:  

 Формула объёма прямой призмы   V=S•H, где Ѕ - площадь основания, Н - высота призмы.  

  Высота призмы равна высоте вписанного цилиндра, которая, в свою очередь, равна его оси. Ось цилиндра параллельна боковой грани призмы, диагональ боковой грани принадлежит её плоскости. Эти два отрезка не пересекаются и не параллельны - они скрещиваются.      Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

  Окружность основания цилиндра касается боковой грани призмы, радиус перпендикулярен стороне основания, поэтому расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно радиусу цилиндра.

 Решение:  

Ѕ(полн. цил)=2Ѕ (осн)+Ѕ(бок).

Ѕ(осн)=πr²=π•(5√2)²=50π ⇒2S=100π

Ѕ(бок)=106π-100π=6π

Ѕ(бок)=2πr•H ⇒ H=6π:2π•5√2=0,3√2

Высота ВК основания (ромба) равна диаметру основания цилиндра=2r=10√2

Сторона ромба АВ=ВС=ВК:sin45°=(10√2•√2):2=20

S(ABCD)=AB•AC•BK=200•10√2=2000√2

V=π•2000√2•0,3√2=1200π

Answer 2

Для начала найдем боковую поверхность призмы. Поскольку у нас ромбическое основание и боковая грань, её площадь будет равна произведению диагонали ромба на высоту боковой грани.

Пусть диагонали ромба равны d₁ и d₂, а высота боковой грани призмы h.

Так как у нас ромб с углом 45°, диагонали равны: d₁ = a * √2, где "a" - длина стороны ромба (основания призмы).

Также нам дано расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы: h₁ = 5√2.

Теперь можно найти площадь боковой поверхности призмы (S₁): S₁ = d₁ * h = (a * √2) * h = a * h₁.

Теперь зная, что площадь полной поверхности цилиндра равна 106п, можем записать выражение для общей площади: S₂ = 2пr + S₁.

Где r - радиус основания цилиндра (он равен половине длины диагонали ромба, потому что цилиндр вписан в прямую призму).

Теперь выразим "a" из первого уравнения и подставим во второе: S₂ = 2пr + (a * h₁).

Также нам известно, что S₂ = 106п.

Теперь выразим "r" из уравнения для S₂: 2пr = 106п - (a * h₁), r = (106п - (a * h₁)) / (2п).

Теперь, чтобы найти объем цилиндра, нам нужно найти его площадь основания (Sₒ) и высоту (H).

Так как у нас ромбическое основание, его площадь: Sₒ = a^2.

Теперь найдем высоту цилиндра (H), используя теорему Пифагора: H^2 = h₁^2 + r^2, H^2 = (5√2)^2 + [(106п - (a * h₁)) / (2п)]^2.

Теперь можем найти объем цилиндра (V): V = Sₒ * H = a^2 * √[(5√2)^2 + [(106п - (a * h₁)) / (2п)]^2].

После подстановки всех известных значений в данное уравнение, мы сможем найти объем призмы.