Question

В прямую призму вписан цилиндр, площадь полной поверхности которого равна 106п. Основание призмы — ромб с углом 45°. Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно 5√2 Найдите объем призмы.в основании цилиндра - круг

Answer 1

Дано: V(ц)=106π, a = 45°, k = 5√2  

Найти: V(пр) - ?

Решение:

Диагональ боковой грани призмы принадлежит самой бокой грани. А боковая грань в свою очередь касается поверхности цилиндра, поэтому расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани - это есть радиус цилиндра.

k = r.

Объем призмы находится по формуле:

V(пр) = S*h

Найдем высоту.

V(ц) = π*r^2*h

h = V(ц) / π*r^2 =106π / 50π = 2,12

Найдем площадь ромба:

S = 4r^2 / sina = 4*25*2/ sin45 = 50√2 

V(пр) = S * h = 2,12 * 50√2  = 106√2 

Ответ: 106√2 

Answer 2

Давайте обозначим различные величины для более удобного обсуждения задачи.

Обозначения: - \( r \) - радиус основания цилиндра, - \( h \) - высота цилиндра, - \( l \) - длина стороны ромба (основания призмы), - \( a \) - половина длины диагонали ромба (расстояние от центра ромба до вершины).

Известно, что площадь полной поверхности цилиндра равна \( 106\pi \), а основание призмы — ромб с углом 45°. Поэтому:

1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна \( 2\pi r h \). 2. Площадь верхней и нижней граней цилиндра (основания призмы) составляют две площади ромба: \( 2l^2 \).

С учетом этого у нас есть уравнение:

\[ 2\pi r h + 2l^2 = 106\pi \]

Также, согласно условию задачи, расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно \( 5\sqrt{2} \). Это означает, что половина длины диагонали ромба равна \( a = \frac{1}{2}\sqrt{2}l \).

Теперь у нас есть два уравнения:

\[ 2\pi r h + 2l^2 = 106\pi \] \[ a = \frac{1}{2}\sqrt{2}l \]

Мы знаем, что площадь основания цилиндра — это площадь круга, \( \pi r^2 \), и так как основание призмы - ромб, то площадь основания призмы равна \( l^2 \).

Таким образом, объем призмы можно выразить как произведение площади основания на высоту призмы:

\[ V = l^2 \cdot h \]

Теперь вам нужно решить систему уравнений:

\[ 2\pi r h + 2l^2 = 106\pi \] \[ a = \frac{1}{2}\sqrt{2}l \]

После нахождения значений \( r \), \( h \), и \( l \), вы сможете вычислить объем призмы по формуле \( V = l^2 \cdot h \).