Question

Основания ABC и A1B1C1 призмы ABCA1B1C1— равносторонние треугольники. Отрезок, соединяющий центр O основания ABC с вершиной C1, перпендикулярен основаниям призмы. Найдите угол между прямой AA1 и плоскостью ABC1, если боковое ребро призмы равно стороне основания.

Answer 1

Ответ:

Sin(∠A1AH1) = √6/3. Угол ≈ 54,7°

Объяснение:

Достроим верхнее основание призмы до ромба, проведя A1D1 и C1D1 параллельно B1C1 и A1B1 соответственно. Точка D1 принадлежит плоскости АВС1.

Треугольник А1С1D1 равен треугольнику АВС по трем сторонам по построению.

A1D = CE (высоты равных правильных треугольников).

При а=1.  CE = √3/2 - как высота правильного треугольника.

В треугольнике АВС ОЕ = (1/3)*(√3/2)=√3/6,

СО = (2/3)*(√3/2)=√3/3 по свойству правильного треугольника.

В треугольнике СОС1 по Пифагору:

ОС1 = √(СС1² - СО²) = √(1 - 3/9) = √6/3.

В треугольнике С1ОЕ по Пифагору:

С1Е = √(ОС1² + ОЕ²) =  √(6/9+3/36) = √3/2.

Треугольник CEC1 - равнобедренный.  => Высота к боковой стороне СН = ОС1 = √6/3.

Треугольник АА1D равен треугольнику СС1Е по построению (A1D=CE, AD=C1E). =>  A1H1 = C1O = √6/3.

Угол A1АН1 - искомый угол по определению (AH1 - проекция АА1 на плоскость АВС1.

Sin(∠A1AH1) = AH1/AA1 = √6/3. Угол ≈ 54,7°

Answer 2

ΔАВС - равносторонний, по условию С₁О - это отрезок, соединяющий центр О основания АВС с вершиной С₁, и перпендикулрный плоскости основания АВС, значит, пирамида C₁ABC - правильная, но не только, это и правильный тетраэдр, пусть все его стороны равны 1, тогда можно заметить, что в пирамиде С₁АВВ₁А₁ в основании лежит ромб, а её высота падает в точку Н - точку пересечения диагоналей ромба, но её боковые грани состоят из правильных треугольников, а значит, что и их прокеции будут равны и ВАУ! мы получаем в основании квадрат! То есть сама изначальная призма состоит из правильного тетраэдра и правильной четырёхугольной пирамиды, все стороны которых равны по 1.

∠(АА₁;(АВС₁)) = ∠(ВВ₁;(АВС₁))

Рассмотрим пирамиду В₁АВС₁ и возпользуемся методом площадей:

C₁H² + B₁H² = B₁C₁²  ⇒ C₁H = √2/2     ;   S (abc) = √3/2  ;  S (abb₁) = 1/2

См. приложение.  Ответ: arcsin(√6/3)

Answer 3

Для решения этой задачи воспользуемся векторным подходом.

Поскольку основания ABC и A1B1C1 равносторонние треугольники, каждое из них имеет все стороны равными и все углы равными 60 градусов.

Обозначим векторы:

• Вектор AO (O - центр основания ABC).
• Вектор AC1 (C1 - вершина призмы, противоположная основанию ABC).
• Вектор AA1 (A1 - вершина призмы, противоположная основанию A1B1C1).

Поскольку основание ABC - равносторонний треугольник, вектор AO будет направлен под углом 60 градусов к плоскости ABC1.

Также, по условию задачи, вектор AC1 перпендикулярен к основаниям призмы, следовательно, он будет лежать в плоскости ABC1.

Теперь рассмотрим треугольник ABC1. Известно, что он является равносторонним треугольником, поэтому угол между его стороной BC и плоскостью ABC1 будет равен 60 градусов.

Таким образом, угол между прямой AA1 и плоскостью ABC1 равен 60 градусов.