Question

Основания ABC и A1B1C1 призмы ABCA1B1C1— равносторонние треугольники. Отрезок, соединяющий центр O основания ABC с серединой ребра A1B1, перпендикулярен основаниям призмы. 
Найдите угол между прямой BC и плоскостью ABC1, если высота призмы равна стороне основания.

Answer 1

Ответ:

∠CBD = arcsin(3√7/14) ≈ arcsin(0,567) => ∠CBD ≈ 34,6°.

Объяснение:

Высота призмы - отрезок ОН1 по условию (так как он перпендикулярен основаниям). =>

АВ=ВС=АС=ОН1.

Основания призмы - правильные треугольники. Следовательно, центр основания АВС - точка О лежит на пересечении высот(медиан, биссектрис) этого треугольника.

Проведем высоту СН основания и опустим перпендикуляр С1Р на плоскость, содержащую основание АВС. Точка Р принадлежит продолжению прямой НС, так как РН - проекция С1Н на плоскость, содержащую основание АВС.

Прямоугольные треугольники ОН1Н и РС1С равны по катету С1Р=Н1О и гипотенузе С1С = Н1Н.

=> PC = OH = (1/3)*СН (так как СН - медиана и делится в отношении 2:1, считая от вершины).

СН = (√3/2)*а, где а - сторона треугольника. Пусть сторона основания равна 1. Тогда

СН = √3/2, а РН = РС+СН = (1/3)*(√3/2)+√3/2 = 2√3/3.

В прямоугольном треугольнике РС1Н по Пифагору

С1Н = √(С1Р²+РН²) = √(1+12/9) = √21/3.

Прямоугольные треугольники ∆СDН ~ ∆C1PH по острому углу С1НР.

Из подобия: СD/C1P = CH/C1H  =>  CD = CH*C1P/C1H  =>

CD = (√3/2)*1/(√21/3) = 3√7/14.

Sin(∠CBD) = CD/CB = 3√7/14.

∠CBD = arcsin(3√7/14) ≈ arcsin(0,567) => ∠CBD ≈ 34,6°.

Answer 2

Обозначим сторону основания треугольника ABC через a, высоту призмы через h, центр основания ABC через O, а середину ребра A1B1 через M. Так как треугольник ABC равносторонний, то его высота равна h = a√3/2.

Заметим, что треугольник A1B1C1 также является равносторонним, а значит, его высота также равна h.

Отрезок OM соединяет центр основания ABC с серединой ребра A1B1, а значит, OM является медианой треугольника A1B1C1, и делит его пополам. Значит, OM равен h/2.

Так как OM перпендикулярен основаниям призмы, то он также перпендикулярен плоскости ABC1.

Поскольку OM является медианой треугольника A1B1C1, то угол между OM и BC равен 60 градусам (так как треугольник ABC равносторонний).

Теперь мы можем использовать свойство, что угол между прямой и плоскостью равен углу между этой прямой и перпендикуляром к плоскости, проведенным из любой точки этой прямой к плоскости.

Таким образом, мы можем найти угол между BC и ABC1, найдя угол между BC и OM (этот угол равен 60 градусов) и угол между OM и плоскостью ABC1 (этот угол равен 90 градусов, так как OM перпендикулярен плоскости ABC1).

Итак, угол между BC и ABC1 равен 60 + 90 = 150 градусов.