Question

На стороні AB трикутник ABC взято точку D таку, що AD:DB=m:n. На стороні BC точки Е і F такі, що BE:EF:FC=p:q:r. Знайти відношення площ трикутників DEF i ABC. На стороне AB треугольник ABC взяты точки D такую, что AD: DB = m:n. На стороне BC точки Е и F такие, что BE:EF:FC = p:q:r. Найти отношение площадей треугольников DEF i ABC. (8-9 клас, можна українською або російською)

Answer 1

Ответ: nq/(m+n)(p+q+r)

Объяснение:

Answer 2

Позначимо площі трикутників ABC і DEF через S₁ та S₂ відповідно.

За властивостями подібних трикутників, відношення площ трикутників ABC і DEF дорівнює квадрату відношення довжин відповідних сторін.

Ми знаємо, що AD:DB=m:n і BE:EF:FC=p:q:r.

Тоді відношення довжин сторін AB і DE буде таким: AB:DE = AD:DE + DB:DE = AD:DB + DB:DE = m:n + (p+q):(q+r).

Аналогічно, відношення довжин сторін BC і EF буде: BC:EF = BE:EF + FC:EF = (p+q):(q+r) + FC:EF = (p+q):(q+r) + q:r.

Таким чином, отримуємо відношення площ трикутників ABC і DEF: S₁:S₂ = (AB:DE)² = [(m:n) + (p+q):(q+r)]², S₁:S₂ = (BC:EF)² = [(p+q):(q+r) + q:r]².

Звідси, відношення площ трикутників DEF і ABC можна обчислити як: S₂:S₁ = 1/[(m:n) + (p+q):(q+r)]², S₂:S₁ = 1/[(p+q):(q+r) + q:r]².

Отже, відношення площ трикутників DEF і ABC залежить від відношень довжин сторін AB, BC і точок D, E, F, і можна обчислити, використовуючи вищезазначені формули.