Question

Дан треугольник ABC. Точка A1 симметрична вершине A относительно прямой BC, а точка C1 симметрична вершине C относительно прямой AB. Известно, что точки A1, B, C1 лежат на одной прямой и C1B = 2 * A1B. Найдите угол CA1B.

Answer 1

Ответ:

90°

Объяснение: Решение :

Answer 2

Чтобы найти угол CA1B, давайте обозначим угол BAC как α.

Из условия задачи известно, что точки A1, B и C1 лежат на одной прямой. Это означает, что угол BAC равен углу C1A1B.

Также дано, что C1B = 2 * A1B. Так как точка A1 симметрична точке A относительно прямой BC, длина отрезка A1B равна длине отрезка A1C1. Поэтому C1B = C1A1.

Поскольку у нас есть равенство углов C1A1B и C1B, а также равенство сторон C1B и C1A1, треугольники C1A1B и C1B1B подобны.

Поэтому мы можем записать отношение длин сторон:

C1B / C1A1 = C1A1 / A1B

2 = C1A1 / A1B

Теперь давайте рассмотрим треугольник A1CA. Известно, что точки A1, B и C1 лежат на одной прямой, а это значит, что угол A1CB равен углу CA1B.

Из треугольника A1CB мы знаем, что:

cos(α) = A1B / C1B

Так как C1B = 2 * A1B, то:

cos(α) = A1B / (2 * A1B)

cos(α) = 1 / 2

Теперь, чтобы найти угол CA1B, возьмем обратный косинус от 1/2:

α = arccos(1/2)

α = 60°

Таким образом, угол CA1B равен 60 градусам.