Question

Доведіть тотожність: cos^2α + sin α sin(180°- α) = 1

Answer 1

$\cos^2\alpha+\sin\alpha\sin(180^\circ-\alpha)=\cos^2\alpha+\sin\alpha\cdot \sin\alpha=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$

Answer 2

Для доведення тотожності скористаємося тригонометричним тотожністю про зменшення або подвоєння кутів:

cos(180° - α) = -cos α

sin(180° - α) = sin α

Тепер підставимо ці вирази у початкову тотожність:

cos^2α + sin α sin(180° - α) = cos^2α + sin α (-cos α)

Тепер застосуємо тригонометричний тотожність cos^2α + sin^2α = 1:

1 + sin α (-cos α) = 1 - sin α cos α

Тепер застосуємо тригонометричний тотожність sin α cos α = 1/2 sin(2α):

1 - 1/2 sin(2α) = 1/2 (2 - sin(2α))

Залишилось розв'язати sin(2α). Знову скористаємося тригонометричними тотожностями:

sin(2α) = 2sinαcosα

Тепер підставимо вираз sin(2α) у попереднє рівняння:

1 - 1/2 (2sinαcosα) = 1 - sinαcosα

Застосуємо ще одну тригонометричну тотожність sinαcosα = 1/2 sin(2α):

1 - 1/2 (2 * 1/2 sin(2α)) = 1 - 1/2 sin(2α)

Зменшимо вираз на 1/2:

1 - 1/2 sin(2α) = 1/2 (2 - sin(2α))

Тепер ми бачимо, що обидві сторони рівняння співпадають, отже, початкова тотожність

cos^2α + sin α sin(180° - α) = 1

доведена.