Question

Напишите нормальное уравнение плоскости если А (-1 ,2,-3) В ( 5 ,0,1) С (0,4,2)​

Answer 1

Найдем уравнение плоскости проходящей через три заданные точки.

$\left|\begin{array}{ccc}x-(-1)&y-2&z-(-3)\\ 5-(-1)&0-2&1-(-3)\\ 0-(-1)&4-2&2-(-3)\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}x+1&y-2&z+3\\ 6&-2&4\\ 1&2&5\end{array}\right|=\\ \\ \\ =(x+1)\left|\begin{array}{ccc}-2&4\\ 2&5\end{array}\right|-(y-2)\left|\begin{array}{ccc}6&4\\ 1&5\end{array}\right|+(z+3)\left|\begin{array}{ccc}6&-2\\ 1&2\end{array}\right|=\\ \\ \\ =(x+1)\cdot (-10-8)-(y-2)\cdot (30-4)+(z+3)\cdot (12+2)=0\\ \\ -18x-26y+14z+76=0~~~|:(-2)\\ \\ 9x+13y-7z-38=0$

Здесь нормальный вектор $\overrightarrow{n}=\{9;13;-7\}$ и поскольку $D=-38$ - отрицательное число, то нормирующий множитель следует взять со знаком плюс. Значение нормирующего множителя равен $\dfrac{1}{\sqrt{9^2+13^2+(-7)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{299}}$

Далее получим нормальное уравнение плоскости, умножив левую и правую части уравнения плоскости на нормирующий множитель.

$\dfrac{9}{\sqrt{299}}x+\dfrac{13}{\sqrt{299}}y-\dfrac{7}{\sqrt{299}}z-\dfrac{38}{\sqrt{299}}=0$

Ответ: $\dfrac{9}{\sqrt{299}}x+\dfrac{13}{\sqrt{299}}y-\dfrac{7}{\sqrt{299}}z-\dfrac{38}{\sqrt{299}}=0$

Answer 2

Чтобы написать уравнение плоскости, проходящей через три точки А(-1, 2, -3), В(5, 0, 1) и С(0, 4, 2), мы можем использовать векторное уравнение плоскости.

Пусть P(x, y, z) - произвольная точка на плоскости. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ лежат на плоскости и могут быть использованы для описания ее нормали.

Вектор $\vec{AB}$ можно получить, вычислив разность координат между точками B и A: $\vec{AB} = (5 - (-1), 0 - 2, 1 - (-3)) = (6, -2, 4)$.

Аналогично, вектор $\vec{AC}$ можно получить, вычислив разность координат между точками C и A: $\vec{AC} = (0 - (-1), 4 - 2, 2 - (-3)) = (1, 2, 5)$.

Теперь мы можем использовать эти два вектора для определения нормали плоскости. Путем вычисления их векторного произведения мы получим нормальный вектор плоскости:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$.

Выполним вычисления:

$\vec{n} = (6, -2, 4) \times (1, 2, 5) = (-18, -14, 10)$.

Теперь, имея нормальный вектор плоскости $\vec{n} = (-18, -14, 10)$ и зная координаты точки A(-1, 2, -3), мы можем записать уравнение плоскости в общей форме:

$-18x - 14y + 10z + D = 0$.

Чтобы найти конкретное значение D, подставим координаты точки A в уравнение плоскости:

$-18(-1) - 14(2) + 10(-3) + D = 0$.

$18 - 28 - 30 + D = 0$.

$-40 + D = 0$.

$D = 40$.

Таким образом, окончательное уравнение плоскости, проходящей через точки A(-1, 2, -3), B(5, 0, 1) и C(0, 4, 2), будет иметь вид:

$-18x - 14y + 10z + 40 = 0$.