Question

На продолжении стороны AB треугольника ABC за точку B отметили точку K. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ACK, если угол ABC=60 градусов, угол AKC=45 градусов, а радиус окружности , описанной около треугольника ABC, равен 4 см.

Answer 1

По теореме синусов

$\dfrac{AC}{\sin \angle ABC}=2R_{ABC}~~~\Rightarrow~~~ AC=2R_{ABC}\sin60^\circ=2\cdot 4\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}~_{\sf CM}$

Теперь используем теорему синусов для треугольника AKC

$\dfrac{AC}{\sin\angle AKC}=2R_{AKC}~~\Rightarrow~~~ R_{AKC}=\dfrac{AC}{2\sin 45^\circ}=\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{6}~_{\sf CM}$

Ответ: 2√6 см.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством описанной окружности в треугольнике: мера центрального угла равна удвоенной мере соответствующего угла при основании.

Поскольку треугольник ABC описан около окружности радиусом 4 см, то угол ABC равен 60 градусов, и это центральный угол описанной окружности. Следовательно, угол BAC, соответствующий углу ABC при основании, равен 60 градусов / 2 = 30 градусов.

Аналогично, угол AKC является центральным углом описанной окружности треугольника ACK. Угол AKC равен 45 градусов, значит, соответствующий ему угол KAC равен 45 градусов / 2 = 22.5 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник AKC. Мы знаем два его угла: KAC = 22.5 градусов и AKC = 45 градусов. Найдем третий угол, используя сумму углов треугольника:

Угол KCA = 180 градусов - KAC - AKC = 180 градусов - 22.5 градусов - 45 градусов = 112.5 градусов.

Таким образом, мы нашли все углы треугольника AKC: KAC = 22.5 градусов, AKC = 45 градусов и KCA = 112.5 градусов.

Радиус окружности, описанной около треугольника ACK, связан с его углами через формулу:

Радиус = a / (2 * sin(A)), где a - длина стороны, A - противолежащий угол.

Мы знаем, что сторона AC является радиусом описанной окружности треугольника ABC и равна 4 см. Поэтому, чтобы найти радиус окружности, описанной около треугольника ACK, нам нужно найти длину стороны AK.

Используем теорему синусов в треугольнике AKC:

AK / sin(KAC) = AC / sin(AKC).

Подставляем известные значения:

AK / sin(22.5 градусов) = 4 см / sin(45 градусов).

Теперь решим это уравнение относительно AK:

AK = (4 см * sin(22.5 градусов)) / sin(45 градусов).

Вычисляем значение:

AK ≈ (4 см * 0.3827) / 0.7071 ≈ 2.165 см.

Теперь, когда у нас есть длина стороны AK, мы можем найти радиус окружности, описанной около треугольника ACK, используя формулу:

Радиус = AK / (2 * sin(AKC)).

Подставляем значения:

Радиус ≈ 2.165 см / (2 * sin(45 градусов)) ≈ 2.165 см / (2 * 0.7071) ≈ 1.534 см.

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника ACK, примерно равен 1.534 см.