Question

Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC (АС = СВ) вписали в коло.На дуге АВ взяли произвольную точку M. Доказать что √2 МС = MА = MB​

Answer 1

                                  Решение : ////////////////////////

Answer 2

Для доказательства равенства √2 МС = МА = МВ воспользуемся геометрическими свойствами равнобедренного прямоугольного треугольника и окружности.

Дано:

• ABC - равнобедренный прямоугольный треугольник (AB - гипотенуза, АС = СВ - катеты).
• Окружность, вписанная в треугольник ABC.
• Точка М на дуге АВ окружности (дуга АВ не содержащая точку C).

Мы знаем, что вписанный угол равен половине соответствующей центральной окружностной дуги. Это свойство поможет нам доказать равенства.

1. Докажем, что МА = МВ: Рассмотрим треугольники МАС и МВС. Они являются прямоугольными и имеют общий катет (МС). Также, у этих треугольников есть общий угол при вершине С, так как М лежит на дуге АВ, не содержащей точку C. Таким образом, треугольники МАС и МВС подобны по признаку "по двум катетам", а это значит, что отношение длин их гипотенуз (МА и МВ) равно отношению длин их катетов (МС).

Таким образом, получаем: МА / МС = МС / МВ.

Умножим обе части на МС: МА = МС^2 / МВ.

Теперь, чтобы доказать, что МА = МВ, нужно доказать, что МС^2 / МВ = МВ.

Рассмотрим треугольник МВС: у него тоже есть прямой угол и два катета равной длины (МВ и МС, так как М лежит на дуге АВ).

Таким образом, МС^2 + МВ^2 = МС^2 + МВ^2, или МС^2 = МВ^2.

Теперь подставим это обратно в предыдущее равенство: МА = МС^2 / МВ = МВ^2 / МВ = МВ.

Таким образом, доказано, что МА = МВ.

2. Докажем, что √2 МС = МА: Рассмотрим прямоугольный треугольник АМС.

Известно, что МА = МВ (это было доказано в пункте 1).

Также, из свойств равнобедренного прямоугольного треугольника АСВ мы знаем, что АС = СВ.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник АМВ.

Из предыдущих рассуждений следует, что АМ = МА = МВ.

Теперь сравним треугольники АМС и АМВ: у них есть общий катет АМ и они имеют общий угол при вершине М (90 градусов). Таким образом, треугольники АМС и АМВ подобны по признаку "по двум катетам". Это значит, что отношение длин гипотенуз (МС и АМ) равно √2.

Таким образом, МС / АМ = √2, и перемножив обе стороны на АМ, получаем: √2 МС = МА.

Таким образом, доказано равенство √2 МС = МА = МВ.