Question

Биссектриса B D BD треугольника A B C ABC делит сторону A C AC на отрезки A D = 8 AD=8 и D C = 2 DC=2 . На прямой B D BD взята точка K K (точка B B лежит между точками K K и D D ) так, что B K = 6 BK=6 BK=6 и угол A K C AKC равен половине угла A B C ABC . Найдите стороны A B AB и B C BC .

Answer 1

Ответ:

АВ=12 ед, ВС = 3 ед.  

Объяснение:

По свойству биссектрисы угла треугольника АВ = 8х, ВС = 2х.

Углы: <ABD = <DBC = <AKC (дано).

В треугольнике АКВ угол <ABD - внешний и равен  

<ABD = <KAB+<AKB.

В треугольнике CBK угол <DBC - внешний и равен  

<DBC = <KCB+<CKB.

В треугольнике AKC угол <AKC = <AKB+<CKB.  

Но <AKC = <ABD = <DBC.  

Значит <AKB+<CKB = <KAB+<AKB. =>

<CKB = <KAB.

C другой стороны <AKB+<CKB = <KCB+<CKB. =>

<AKB = <KCB. Следовательно, треугольники  АКВ и КСВ подобны по двум углам и из подобия:  

8х/6 = 6/2х  => х = 3/2.  

АВ=12 ед, ВС = 3 ед.  

В треугольнике АВС стороны равны 12, 3 и 10.

Answer 2

Для решения данной задачи, воспользуемся свойствами биссектрисы треугольника.

Пусть точка E E является точкой пересечения биссектрисы BD и стороны AC. Так как биссектриса делит сторону AC на отрезки AD и DC, то получаем AE = 8 и EC = 2.

Из условия задачи, угол AKC равен половине угла ABC. Заметим, что треугольники AKC и ABD имеют общий угол между сторонами AK и AB, а также углы AKC и ABD равны, так как AKC равен половине ABC. Следовательно, треугольники AKC и ABD подобны.

Из подобия треугольников AKC и ABD следует соотношение длин сторон: AK/AB = KC/BD.

Подставим известные значения в это соотношение: AK/AB = EC/BD, AK/AB = 2/BD.

Также из подобия треугольников AKC и ABD следует соотношение длин сторон: KC/BD = AC/AB.

Подставим известные значения в это соотношение: KC/BD = 10/AB.

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (AK/AB = 2/BD и KC/BD = 10/AB). Решим эту систему уравнений.

AK/AB = 2/BD (1) KC/BD = 10/AB (2)

Умножим оба уравнения на BD: AK = 2BD/AB (3) KC = 10BD/AB (4)

Так как AK + KC = AC, то: AK + KC = AE + EC 2BD/AB + 10BD/AB = 8 + 2 12BD/AB = 10 12BD = 10AB BD = 10AB/12 = 5AB/6

Теперь, подставив BD = 5AB/6 в (3), получим: AK = 2(5AB/6)/AB AK = 5AB/3

Таким образом, AK = 5AB/3 и BD = 5AB/6.

Теперь рассмотрим треугольник BKC. По условию, BK = 6 и KC = 10. Из этого треугольника можем найти сторону BC по теореме Пифагора: BC^2 = BK^2 + KC^2 BC^2 = 6^2 + 10^2 BC^2 = 36 + 100 BC^2 = 136 BC = √136 = 2√34.

Таким образом, стороны AB и BC равны: AB = 5AB/3 и BC = 2√34.