Question

ABCDA1B1C1D1 - куб. Точка М - середина BC. Найдите угол между AM и DC1

Answer 1

Ответ:

Эту задачу можно решать двумя способами:

 - 1) геометрическим,

 - 2) векторным.

Для определения угла между скрещивающимися прямыми D1M и DC1 перенесём D1M  точкой D1 в точку D (точка М станет точкой К).

Получим треугольник КC1D.

Находим длины сторон этого треугольника.

С1D = 3√2 (как диагональ квадрата грани куба).

КD = √(1,5²+(3√2)²) = √((9/4)+18) = √(81/4) = 9/2.

КС1 = √((3+1,5)²+3²) = √((81/4)+9) = √117/2.

Теперь по теореме косинусов находим искомый угол КDC1 (α):

Угол КDC1 = arc cos  0,23570226 = 76,366978°

Answer 2

Для нахождения угла между векторами AM и DC1, нам понадобятся некоторые геометрические свойства.

Дано:

ABCD - куб (кубический многогранник со всеми гранями квадратами). M - середина ребра BC (средняя точка отрезка BC). C1 - симметричная точка точки C относительно плоскости ABD (т.е., точка C1 лежит на противоположной стороне куба относительно плоскости ABD и находится на прямой DC).

Сначала определим координаты точек:

Пусть сторона куба равна a. Тогда координаты точек: A(0, 0, 0) B(a, 0, 0) C(a, a, 0) D(0, a, 0) M(a, a/2, 0) - так как М - середина BC

Теперь найдем точку C1. Точка C1 лежит на прямой DC и имеет ту же координату y, что и точка D, а также ту же координату x, что и точка C. Таким образом, координаты C1(a, 0, 0).

Теперь мы можем найти векторы AM и DC1 и затем найти угол между ними.

Вектор AM = M - A = (a - 0, a/2 - 0, 0 - 0) = (a, a/2, 0) Вектор DC1 = C1 - D = (a - 0, 0 - a, 0 - 0) = (a, -a, 0)

Теперь найдем скалярное произведение векторов AM и DC1:

AM · DC1 = a * a + (a/2) * (-a) + 0 * 0 = a^2 - a^2 + 0 = 0

Далее найдем длины векторов AM и DC1:

|AM| = √(a^2 + (a/2)^2 + 0^2) = √(a^2 + a^2/4) = √(5a^2/4) = a√5/2 |DC1| = √(a^2 + (-a)^2 + 0^2) = √(a^2 + a^2) = √2a

Теперь можем найти косинус угла между AM и DC1 используя определение скалярного произведения:

cos θ = (AM · DC1) / (|AM| * |DC1|) cos θ = 0 / (a√5/2 * √2a) = 0

Так как косинус угла равен 0, это означает, что угол между векторами AM и DC1 равен 90 градусов (прямой угол).