Question

все вершины правильного треугольника лежат на сторонах прямоугольного треугольника. одна из сторон правильного треугольника параллельна гипотенузе.длина этой стороны в три раза меньше длины гипотенузы. найдите градусную меру меньшего угла прямоугольного треугольника.

Answer 1

Ответ:

30°, 60°.

Объяснение:

Пусть вершины K и L правильного треугольника KLM лежат на катетах соответственно BC и AC прямоугольного треугольника ABC, а вершина M – на гипотенузе AB. Пусть  ∠A = α,  KL = 1.  Тогда  ∠ KLC = ∠A = α,  AB = 3,  а высота CH = 3cos α sin α.  С другой стороны эта высота в полтора раза больше высоты треугольника KLM, то есть равна      Отсюда      то есть  2α = 60° или 120°.  Следовательно,  α = 30°  или  α = 60°

Answer 2

Пусть длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна H. Тогда длина стороны правильного треугольника, параллельной гипотенузе, будет равна H/3.

Мы знаем, что все вершины правильного треугольника лежат на сторонах прямоугольного треугольника. Поскольку одна из сторон правильного треугольника параллельна гипотенузе, это означает, что сторона правильного треугольника длиной H/3 лежит на гипотенузе прямоугольного треугольника.

Таким образом, у нас есть два правильных треугольника: один с вершинами на сторонах прямоугольного треугольника, а другой внутри него.

Мы знаем, что угол в правильном треугольнике равен 60 градусов.

Поскольку сторона правильного треугольника, параллельная гипотенузе, имеет длину H/3, она составляет треть от гипотенузы. Значит, треть гипотенузы соответствует углу 60 градусов внутри прямоугольного треугольника.

Таким образом, меньший угол прямоугольного треугольника составляет 60 градусов.