Question

Кут між векторами а і б дорівнює 30 градусів, |а| =|б|=1. Знайти скалярний добуток (а-2б) (а+б) Це все вектори. Поможіть будь-ласка

Answer 1

Розв'язання завдання додаю

Answer 2

Щоб знайти скалярний добуток векторів (а-2б) і (а+б), спочатку визначимо ці вектори. Відомо, що |а| = |б| = 1, а кут між ними дорівнює 30 градусам.

Запишемо вектори а і б в координатній формі. Припустимо, що вектори а і б мають координати (x1, y1) та (x2, y2) відповідно.

Вектор а: а = (x1, y1) Вектор б: б = (x2, y2)

Так як |а| = |б| = 1, то відомо, що x1^2 + y1^2 = 1 та x2^2 + y2^2 = 1.

Крім того, знаємо, що кут між а і б дорівнює 30 градусам. Використовуючи властивості скалярного добутку, маємо:

cos(30) = (а • б) / (|а| * |б|) cos(30) = (x1 * x2 + y1 * y2) / (1 * 1)

Оскільки cos(30) = √3/2, підставимо значення:

√3/2 = (x1 * x2 + y1 * y2)

Отримали рівняння: x1 * x2 + y1 * y2 = √3/2.

Тепер обчислимо вектор (а-2б):

(а-2б) = (x1, y1) - 2(x2, y2) = (x1 - 2x2, y1 - 2y2)

Аналогічно, обчислимо вектор (а+б):

(а+б) = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)

Тепер, знаючи ці вектори, обчислимо їх скалярний добуток:

(а-2б) • (а+б) = (x1 - 2x2, y1 - 2y2) • (x1 + x2, y1 + y2) = (x1 - 2x2) * (x1 + x2) + (y1 - 2y2) * (y1 + y2) = x1^2 - 2x1x2 + x1x2 + 2x2^2 + y1^2 - 2y1y2 + y1y2 + 2y2^2 = x1^2 - x1x2 - 2x1x2 + 2x2^2 + y1^2 - y1y2 - 2y1y2 + 2y2^2 = x1^2 - 3x1x2 + 2x2^2 + y1^2 - 3y1y2 + 2y2^2

Зауважимо, що ми можемо використовувати відомі співвідношення x1^2 + y1^2 = 1 та x2^2 + y2^2 = 1:

(а-2б) • (а+б) = 1 - 3x1x2 + 2x2^2 + 1 - 3y1y2 + 2y2^2 = 2 - 3x1x2 - 3y1y2 + 2x2^2 + 2y2^2

Таким чином, скалярний добуток (а-2б) • (а+б) дорівнює 2 - 3x1x2 - 3y1y2 + 2x2^2 + 2y2^2.