Question

Дуже терміново! Даю 100 балів! Точка О не лежить у площині трикутника АВС, точки М, Р іК належать відрізкам АО, ВО і СО, так що кут ОМР= куту ОАВ, а кут ОРК = куту ОВС. Доведіть, що площини АВС і МРК паралельні.​

Answer 1

......................................................

Answer 2

Для доведення, що площини АВС і МРК паралельні, ми можемо скористатися властивістю паралельних площин: якщо дві площини перетинають третю площину паралельно, то всі точки перетину обох площин з цією третьою площиною лежать на паралельних прямих.

Для початку, позначимо кути ОАВ і ОВС через α і β відповідно. Згідно з умовою задачі, кути ОМР і ОРК також дорівнюють α і β відповідно.

Оскільки кут ОМР = кут ОАВ (за умовою), а кут ОРК = кут ОВС (за умовою), то кути ОМР і ОРК також дорівнюють α і β відповідно.

Розглянемо трикутники ОМР і ОВС. За умовою, кути ОМР і ОРК дорівнюють α і β відповідно.

Таким чином, ми маємо наступну відповідність між кутами трикутників ОМР і ОВС:

ОМР: α ОРК: β

За теоремою про внутрішні кути трикутника, сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів.

У трикутнику ОМР кути ОМР, ОРК і МОР мають суму 180 градусів. Замінюючи значення кутів, ми отримуємо:

α + β + МОР = 180°

У трикутнику ОВС кути ОВС, ОМР і СОВ мають суму 180 градусів. Замінюючи значення кутів, ми отримуємо:

β + α + СОВ = 180°

Оскільки α + β + МОР = 180° і β + α + СОВ = 180°, то МОР = СОВ.

Отже, кут МОР дорівнює куту СОВ.

Це означає, що пряма МР паралельна прямій СВ, оскільки кути ОМР і ОВС дорівнюють одне одному.

Аналогічним чином, можна довести, що пряма МК паралельна прямій АС.

Таким чином, отримали, що пряма МР паралельна прямій СВ, а пряма МК паралельна прямій АС. Отже, площини АВС і МРК паралельні.