Question

Докажите тождество:tg a+ctg a=1/cos a×sin a​

Answer 1

Распишем тангенс и котангенс как отношение синуса к косинусу и косинуса к синусу соответственно:

tga+ctga=sina/cosa + cosa/sina.

Приведем полученные выражения к общему знаменателю:

sina/cosa + cosa/sina=(sina * sina + cosa * cosa)/(sina * cosa)=((sina)^2 + (cosa)^2)/(sina * cosa).

В соответствии с основным тригонометрическим тождеством

(sina)^2 + (cosa)^2 = 1.

Поэтому окончательно получаем, что

tga+ctga = 1/(sina * cosa).

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны (ЛС) и преобразуем ее, используя тригонометрические тождества:

Левая сторона (ЛС): tg(a) + ctg(a)

Тригонометрические тождества: tg(a) = sin(a) / cos(a) ctg(a) = cos(a) / sin(a)

Подставим эти выражения в ЛС: ЛС = sin(a) / cos(a) + cos(a) / sin(a)

Теперь найдем общий знаменатель для слагаемых в ЛС, он равен произведению sin(a) и cos(a):

Общий знаменатель = sin(a) * cos(a)

Теперь приведем каждое слагаемое к общему знаменателю: ЛС = (sin^2(a) + cos^2(a)) / (cos(a) * sin(a))

Тригонометрическое тождество: sin^2(a) + cos^2(a) = 1

ЛС = 1 / (cos(a) * sin(a))

Поскольку правая сторона (ПС) тождества также равна 1 / (cos(a) * sin(a)), мы убедились, что ЛС и ПС совпадают. Таким образом, тождество tg(a) + ctg(a) = 1 / (cos(a) * sin(a)) доказано.