Question

Записать теоремы о площади треугольника, т. синусов и т. косинусов с доказательством. (9 класс)

Answer 1

Ответ: Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: a2=b2+c2−2⋅b⋅c⋅cosA. .

Объяснение:

Answer 2

Теоремы о площади треугольника, синусах и косинусах:

1. Теорема о площади треугольника: Площадь треугольника равна половине произведения длины одного из его оснований на высоту, опущенную из вершины на это основание.

Доказательство: Пусть у нас есть треугольник ABC с основанием BC и высотой h, опущенной из вершины A на основание BC.

Площадь треугольника ABC = (полупериметр треугольника) * (радиус вписанной окружности) = (AB + AC + BC)/2 * r, где r - радиус вписанной окружности.

Также площадь треугольника ABC = (площадь треугольника ABC) + (площадь треугольника AHB), где H - точка пересечения высоты с основанием BC, а AHB - прямоугольный треугольник.

Площадь треугольника ABC = (1/2) * BC * h (площадь прямоугольного треугольника AHB).

Таким образом, (AB + AC + BC)/2 * r = (1/2) * BC * h.

Из этого равенства следует, что площадь треугольника ABC = (BC * h)/2, что и требовалось доказать.

2. Теоремы о синусах и косинусах:

а) Теорема синусов: В любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего угла равно одинаково для всех трех сторон: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C),

где a, b, c - длины сторон треугольника, A, B, C - соответствующие им углы.

Доказательство: Рассмотрим треугольник ABC. Проведем высоту CH, опущенную из вершины C на сторону AB. Тогда получим два прямоугольных треугольника ACH и BCH.

В треугольнике ACH: sin(A) = CH / c.

В треугольнике BCH: sin(B) = CH / a.

Теперь, домножим первое равенство на a и второе на c:

a * sin(A) = CH, c * sin(B) = CH.

Таким образом, a * sin(A) = c * sin(B). Аналогично можно доказать остальные равенства.

б) Теорема косинусов: В любом треугольнике квадрат длины каждой стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cos(A), b^2 = a^2 + c^2 - 2ac * cos(B), c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C).

Доказательство: В треугольнике ABC, по теореме Пифагора: cos(A) = adjacent/hypotenuse = b/c, cos(B) = adjacent/hypotenuse = a/c.

Теперь домножим первое равенство на -c и второе на -a:

-c * cos(A) = -b, -a * cos(B) = -c.

Теперь сложим эти равенства:

-c * cos(A) - a * cos(B) = -b - c, -c * cos(A) - a * cos(B) = -a - c.

Заметим, что оба выражения равны, а это следует из теоремы о косинусах. Аналогично, можно доказать остальные равенства.